maximales Idela < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mo 16.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
kann mir jemand, vielleicht auch anhand eines Beispiels erklären, was ein maximales Ideal ist?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Regine!
Ein Ideal $I$ eines Ringes $R$ heißt maximal, wenn $I$ von $R$ verschieden ist und wenn zwischen $I$ und $R$ keine weiteren Ideale liegen.
In [mm] $\IZ$ [/mm] ist das Ideal [mm] $p\IZ$ [/mm] maximal, wenn $p$ eine Primzahl ist. In einem Ideal, das [mm] $p\IZ$ [/mm] echt enthält, liegt nämlich eine ganze Zahl $z$, die kein ganzzahliges Vielfaches von $p$ ist, also ein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $ggT(p,z)=1$. Mit $z$ und $p$ lässt sich dann aber die $1 [mm] \in \IZ$ [/mm] ganzzahlig kombinieren, so dass das Ideal dann automatisch gleich ganz [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 18.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
danke für die Antwort, aber das ist mir noch nicht ganz klar!
Ich fange mal ganz klein an:
Es sei $R$ ein Ring. $a [mm] \subseteq [/mm] R$ heißt [mm] \underline{Linksideal} [/mm] (bzw. [mm] \underline{Rechtsideal}) [/mm] von $R$, falls gilt:
1) $a$ ist Untergruppe von $(R,+)$, d.h. $a [mm] \not= \emptyset$ [/mm] und $a+(-a) [mm] \subseteq [/mm] a$.
2) [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] a$, [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R$: $xa [mm] \in [/mm] a$ (bzw. $ax [mm] \in [/mm] a$), d.h. $Ra [mm] \subseteq [/mm] a$ (bzw. $a [mm] \supseteq [/mm] aR$).
$a [mm] \subseteq [/mm] R$ heißt [mm] \underline{Ideal}, [/mm] falls $a$ sowohl Links- als auch Rechtsideal ist.
Und dann ist dieses Ideal $a$ [mm] \underline{maximal}, [/mm] wenn $a$ von $R$ verschieden ist und keine weiteren Ideale zwischen $a$ und $R$ liegen. Was bedeutet das denn?
In [mm] $\IZ$ [/mm] sind dann [mm] $p\IZ$, [/mm] $p$ Primzahl, die maximalen Ideale.
Wenn ich nun z.B. [mm] $2\IZ$ [/mm] betrachte. Wieso ist darin dann [mm] $4\IZ$ [/mm] ein maximales Ideal?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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Guten Morgen!
Ja, die Definition ist ein wenig abstrakt, aber eigentlich doch klar:
Ist $R$ Dein Ring und $I$ ein Ideal in $R$ (mit $I [mm] \not= [/mm] R$), so heißt $I$ maximal, falls gilt:
Ist $I'$ ein weiteres Ideal mit $I [mm] \subseteq [/mm] I' [mm] \subseteq [/mm] R$, so gilt entweder $I = I'$ oder $I' = R$.
Das heißt es können nicht beide Inklusionen echt sein - denn das würde heißen, dass $I'$ zwischen $I$ und $R$ liegt und das ist bei maximalen Idealen verboten.
Dein letztes Beispiel verstehe ich nicht - $2 [mm] \IZ$ [/mm] ist ja mit den von [mm] $\IZ$ [/mm] induzierten Verknüpfungen gar kein Ring, die 1 fehlt. Oder habt ihr Ringe ohne 1 betrachtet?
Ist Stefans Beispiel denn klar? Also $2 [mm] \IZ$ [/mm] ist ein maximales Ideal in [mm] $\IZ$, [/mm] weil 2 eine Primzahl ist.
Der Beweis ist wirklich nicht schwer und Stefan hat ihn gegeben.
Etwas anderes Wissenswerte ist vielleicht, dass in jedem Ring maximale Ideale existieren - das folgt aus dem Lemma von Zorn.
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 So 22.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
nach einigem Lesen und Nachrechnen ist mir das nun alles klar! Danke!
Aber wie kann ich denn dann beweisen, dass [mm] $2\IZ$ [/mm] ind [mm] $4\IZ$ [/mm] ein maximales Ideal ist, wenn wir einen Ring ohne Einselement betrachten?
Vielen Dank,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Ein Ideal $I$ in $2 [mm] \IZ$ [/mm] mit $I [mm] \supsetneq 4\IZ$ [/mm] muss ein Element der Form
$2n+2$ mit $n [mm] \in \IZ$ [/mm] enthalten.
Dann enthält es aber auch
$2 = (2n+2)-2n$
und ist somit automatisch gleich [mm] $2\IZ$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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