maximales Gebiet hol. Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:40 Do 02.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
EDIT: die eigentliche Frage findet sich in der Mitteilung weiter unten. hier stand was falsches, was man sich nicht komplett durchlesen muss ;)
gruß,
rutzel
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Do 02.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Konnte den Fehler nicht beheben. Habe ihn aber markiert und erklärt wo ich hängen bleibe.
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo, ich hatte noch eine Idee. Ist folgendes ok?
> Bestimmen Sie das maximale Gebiet, in welchem folgende
> Funktion holomorph ist:
> f(z)=Log(sin z) mit sin(z) = [mm]\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich will hier nochmal Fragen, ob ich es verstanden habe.
> (wenn ich zuviele Fragen stelle, bitte sagen.)
>
> Ich habe zunächst die Holomorphie der exp-funktion
> gezeigt:
>
> [mm]e^{x+iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y))[/mm]
> = [mm]e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)[/mm]
>
> [mm]u:=u(x,y):=e^x\cos(y)[/mm]
> [mm]v:=v(x,y):=e^x\sin(y)[/mm]
>
> u und v sind klar reell diffbar.
>
> weiterhin:
> [mm]\frac{du}{dx}=e^xCos(y)[/mm]
> [mm]\frac{du}{dy}=-e^xsin(y)[/mm]
> [mm]\frac{dv}{dx}=e^xsin(y)[/mm]
> [mm]\frac{dv}{dy}=e^xcos(y)[/mm]
>
> Die Cauchy Riemann Diffgl sind also in jedem Punkt
> erfüllt.
>
> => exp ist in ganz [mm]\IC[/mm] holom.
>
> => sin ist in ganz [mm]\IC[/mm] holom.
> (wegen satz: f,g hol in G, a,b [mm]\in \IC[/mm] => F=af+bg ist
> hol. in G)
>
> Also haben wir nur noch die Einschränkungen des Log.
>
>
> ich muss entscheiden, wann sin(z) [mm]\in \IC \backslash\{x\in\IR | x \le 0\}[/mm]
> ist.
>
> Also habe ich berechnet:
>
> [mm]Im(sin(z))=-\frac{1}{2}(e^{-y}cos(x)-e^ycos(x))[/mm]
> und
> [mm]Re(sin(z))=\frac{1}{2}sin(x)(e^{-y}+e^{y})[/mm]
>
> Jetzt muss gelten, damit z im Komplement von [mm]\IC \backslash\{x\in\IR | x \le 0\}[/mm]
> liegt:
> Im(sin(z))=0
> und
> Re(sin(z)) [mm]\le[/mm] 0
>
> [mm]Im(sin(z))=-\frac{1}{2}(e^{-y}cos(x)-e^ycos(x))=0[/mm]
> Genau dann wenn
> [mm]e^{-y}cos(x)=e^ycos(x)[/mm]
> <=>
> [mm]e^{-y}=e^y[/mm]
> <=>
> y=0
> oder
> [mm]y=-i\pi[/mm]
[mm] y=-i\pi [/mm] kann nicht sein, da wir in [mm] \IR [/mm] sind
=>
y=0
>
> aber was kann ich aus
> Re(sin(z)) [mm]\le[/mm] 0
> folgern?
Aus Re(sin(z)) folgt:
weil y=0:
[mm] Re(sin(z))=\frac{1}{2}sin(x)(2) [/mm] = sin(x)
sin(x) [mm] \le [/mm] 0 genau dann wenn
x [mm] \in [a_i \cdot \pi [/mm] ; [mm] b_i \cdot \pi] [/mm] := P
mit [mm] a_i [/mm] = i
und [mm] b_i [/mm] = i+1
mit i=...,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,....
Also ist die Funktion f(z) holomorph auf:
[mm] \IC \backslash \{z\in\IC | Im(z)\not= 0 \wedge Re(z)\not\in P \}
[/mm]
(ist das dann überhaupt noch ein gebiet?)
>
> Gruß,
> Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 So 05.10.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo Rutzel.
wenn du neue Aufgaben stellst, solltest du auch einen neuen Thread (neuen Fragestrang) dafür aufmachen. Ich könnte mir gut vorstellen, dass der ein oder andere diese Frage hier übersieht, weil bereits 20 Beiträge geschrieben worden sind und diejenigen (zu Recht denken), es handelt sich um eine tiefgründigere Frage, die auf den ganzen vorherigen Antworten aufbaut.
Nur ein gut gemeinter Tipp [Kopier deine Frage einfach noch mal und erstell ein neues Thema, und wenn sich jemand wegen Doppelpost beschwert, kannst du ja auf mich verweisen... ]
MfG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 05.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich habe bereits einen neuen Thread eröffnet. Jetzt wurde dieser hier plötzlich auch vom alten Thread getrennt.
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:30 So 05.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das maximale Gebiet, in welchem folgende Funktion holomorph ist:
f(z)=Log(sin z) mit sin(z) = [mm] \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) [/mm] |
Hallo, meinde Idee:
Ich habe zunächst die Holomorphie der exp-funktion
gezeigt:
[mm]e^{x+iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y))[/mm]
= [mm]e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)[/mm]
[mm]u:=u(x,y):=e^x\cos(y)[/mm]
[mm]v:=v(x,y):=e^x\sin(y)[/mm]
u und v sind klar reell diffbar.
weiterhin:
[mm]\frac{du}{dx}=e^xCos(y)[/mm]
[mm]\frac{du}{dy}=-e^xsin(y)[/mm]
[mm]\frac{dv}{dx}=e^xsin(y)[/mm]
[mm]\frac{dv}{dy}=e^xcos(y)[/mm]
Die Cauchy Riemann Diffgl sind also in jedem Punkt
erfüllt.
=> exp ist in ganz [mm]\IC[/mm] holom.
=> sin ist in ganz [mm]\IC[/mm] holom.
(wegen satz: f,g hol in G, a,b [mm]\in \IC[/mm] => F=af+bg ist hol. in G)
Also haben wir nur noch die Einschränkungen des Log.
ich muss entscheiden, wann sin(z) [mm]\in \IC \backslash\{x\in\IR | x \le 0\}[/mm]
ist.
Also habe ich berechnet:
[mm]Im(sin(z))=-\frac{1}{2}(e^{-y}cos(x)-e^ycos(x))[/mm]
und
[mm]Re(sin(z))=\frac{1}{2}sin(x)(e^{-y}+e^{y})[/mm]
Jetzt muss gelten, damit z im Komplement von [mm]\IC \backslash\{x\in\IR | x \le 0\}[/mm] liegt:
Im(sin(z))=0
und
Re(sin(z)) [mm]\le[/mm] 0
[mm]Im(sin(z))=-\frac{1}{2}(e^{-y}cos(x)-e^ycos(x))=0[/mm]
Genau dann wenn
[mm]e^{-y}cos(x)=e^ycos(x)[/mm]
<=>
[mm]e^{-y}=e^y[/mm]
<=>
y=0
oder
[mm]y=-i\pi[/mm]
[mm] y=-i\pi [/mm] kann nicht sein, da wir in [mm] \IR [/mm] sind
=>
y=0
Aus Re(sin(z)) folgt:
weil y=0:
[mm] Re(sin(z))=\frac{1}{2}sin(x)(2) [/mm] = sin(x)
sin(x) [mm] \le [/mm] 0 genau dann wenn
x [mm] \in [a_i \cdot \pi [/mm] ; [mm] b_i \cdot \pi] [/mm] := P
mit [mm] a_i [/mm] = i
und [mm] b_i [/mm] = i+1
mit i=...,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,....
Also ist die Funktion f(z) holomorph auf:
[mm] \IC \backslash \{z\in\IC | Im(z)\not= 0 \wedge Re(z)\not\in P \}
[/mm]
(ist das dann überhaupt noch ein gebiet?)
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Do 09.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
