maximaler Flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein 12 cm langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden und der Flächeninhalt soll möglichst groß sein. |
Hallo,
ich möchte nun versuchen den Flächeninhalt und die Seitenlängen auszurechnen.
also habe ich mir überlegt:
(Die Seiten nenne ich x und a, wobei x die kürzere ist)
U=2a+2x=12
A=a*x soll maximal sein
Nun habe ich die aufgabe auch in meinem Buch wiedergefunden, und als nächster Lösungsschritt steht dort:
"Umschreiben der Seiten a: [mm] a=\bruch{12-2x}{2} [/mm] = 6-x "
Was bedeutet das? Ich verstehe diesen Schritt nicht.
Vielleicht würde ich dann weiterkommen, wenn ich wüsste, was das heißt.
LG Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 04.03.2007 | | Autor: | DesterX |
Hi Informacao!
Es ist bei solchen Aufgaben immer sinnvoll, erst sehr akribisch vorzugehen, um die Lösungswege zu verstehen!
Also extremal werden soll ein Rechteck, dein Extremalbedingung also ist:
A=ab
mit a,b >0
Warum aber berechnest du nicht jetzt schon ein Extremum?
Zum einen ist deine Nebenbedingung sicher nicht "zufällig erfüllt".
Zum anderen ist das Problem, dass der Flächeninhalt nun noch von a und b, sprich 2 Variablen abhängt - in der Schule jedoch lernst du nur Verfahren kennen, einen Funktion in einer Variablen zu minimieren bzw. maximieren.
Also versuchen wir nun eine Zielfunktion zu bestimmen, die nur von einer Variable abhängt und zudem deine Nebenbedingung beinhaltet. (um die beiden Probleme von oben zu beseitigen..)
Zur Nebenbedingung(NB):
U=2a+2b=12
Nun formen wir diese nach a um:
2a+2b=12 [mm] \gdw [/mm] 2a=12-2b [mm] \gdw a=\bruch{12-2b}{2} \gdw [/mm] a=6-b
Das ist also die Bedingung, die für a gelten muss, damit die NB erfüllt ist.
Setzen wir dieses A in die Extremalbdg, so erhalten wir die Zielfunktion:
[mm] A(b)=(6-b)b=6b-b^2
[/mm]
Die Zielfunkton hängt nur nur von einer Variablen ab.
Jetzt kannst du ein Extremum (Extremstelle [mm] b_E) [/mm] dieser Funktion suchen.
Für [mm] a_E [/mm] gilt dann [mm] a_E=6-b_E
[/mm]
Viele Grüße
Dester
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