maximale Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Angenommen die Zufallsvariable X hat eine Verteilung die durch P(X=0) = P(X=2) = p und P(X=1) = 1 - 2p für ein 0 < p < [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Finden Sie p, so dass die Varianz von X maximal ist. |
Hm ich habe mir mal den Erwartungswert berechnet:
E(X) = 0 * p + 1 * (1-2p) + 2 * p = 1
Dann die Varianz:
Var(X) = [mm] (0-1)^2 [/mm] * p + [mm] (1-1)^2 [/mm] * (1-2p) + [mm] (2-1)^2 [/mm] * p = p + p = 2p
Wie kann ich nun bestimmen bei welchem p die Varianz maximal ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Di 13.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Angenommen die Zufallsvariable X hat eine Verteilung die
> durch P(X=0) = P(X=2) = p und P(X=1) = 1 - 2p für ein 0 < p
> < [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Finden Sie p, so dass die Varianz von X
> maximal ist.
Wenn Du's Dir nur mal logisch anschaust, dann ist die Verteilung symmetrisch um 1 (d.h. X kann 1 sein, 1+1 oder 1-1, wobei die beiden letzteren gleiche Wahrscheinlichkeit haben). Die Varianz soll maximiert werden, d.h. wir wollen die Wahrscheinlichkeit, daß ein Wert weit weg von der Mitte rauskommt, möglichst groß.
Diese Wahrscheinlichkeit ist p; nun ist p<1/2, also gibt es, egal welches p<1/2 wir wählen, immer ein p<p'<1/2, d.h. es gibt kein Maximum, nur ein Supremum.
Deine Rechnung ist richtig, und führt dich zum gleichen Problem:
> Var(X) = 2p
d.h. wir wollen p möglichst groß, aber wir haben ein offenes Intervall.
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OK und p darf ja auch nicht 0 sein, deshalb kann ich wenn ich 0.0001 wähle sagen, dass 0.00000001 nochmals kleiner ist usw.???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Blech |
> OK und p darf ja auch nicht 0 sein, deshalb kann ich wenn
> ich 0.0001 wähle sagen, dass 0.00000001 nochmals kleiner
> ist usw.???
Richtig. Auch wenn wir hier p gegen 1/2 gehen lassen wollen =)
Für p->0 minimieren wir ja die Varianz.
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