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| Aufgabe | | Ein Punkt P bewegt sich im 1. Quadranten auf dem Graphen von f. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen bilden ein Rechteck. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt eines solchen Rechtecks. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo :). Bin mir bei dieser Aufgabe etwas unsicher und hoffe auf eine Korrekturhilfe.
Vorliegende Funktion: f(x)=(1-x)*e^(2x)
Ich habe folgendes gerechnet:
quadratische Fläche: A = x*y
Funktion: f(x)=(1-x)*e^(2x) <=> y=(1-x)*e^(2x)
Funktion für max. Flächeninhalt: A=x*((1-x)*e^(2x))
neue Funktion: g(x)=x*((1-x)*e^(2x))
=> xe^(2x) - x²e^(2x)
g'(x)= e^(2x)*(1-2x²)
g''(x)= 2e^(2x)*(-2x²+2x+1)
notwendige bidingung: g'(x)=0
e^(2x)*(1-2x²)=0
<=> [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] v [mm] x=-\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] (mögl. Extremstellen)
hinreichende Bedingung: g'(x)=0 & [mm] g''(x)\not=0
[/mm]
[mm] g''(\wurzel{\bruch{1}{2}}) \approx [/mm] 11,634 => lok. Minimum
[mm] g''(-\wurzel{\bruch{1}{2}}) \approx [/mm] -0,687 => lok. Maximum!
[mm] g(-\wurzel{\bruch{1}{2}}) \approx [/mm] -0,29
Also: Der maximale Flächeninhalt des Rechtecks beträgt -0,687 (FE) und hat die Koordinaten: [mm] (-\wurzel{\bruch{1}{2}}|\approx [/mm] -0,29)
Das ist meine Lösung, die auf dem ersten Blick natürlich schon falsch erscheint.. da ein negativer Wert doch unmöglich richtig sein kann.
Bei welchem Schritt habe ich einen Fehler gemacht? Bitte um kurze Hilfe.
Vielen Dank, Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 01.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Punkt P bewegt sich im 1. Quadranten auf dem Graphen
> von f. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen bilden ein
> Rechteck. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt eines
> solchen Rechtecks.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo :). Bin mir bei dieser Aufgabe etwas unsicher und
> hoffe auf eine Korrekturhilfe.
>
> Vorliegende Funktion: f(x)=(1-x)*e^(2x)
>
>
> Ich habe folgendes gerechnet:
>
> quadratische Fläche: A = x*y
> Funktion: f(x)=(1-x)*e^(2x) <=> y=(1-x)*e^(2x)
> Funktion für max. Flächeninhalt: A=x*((1-x)*e^(2x))
>
> neue Funktion: g(x)=x*((1-x)*e^(2x))
> => xe^(2x) - x²e^(2x)
>
Bis hier ist alles korrekt.
Aber bei den Ableitungen hast du Fehler gemacht.
[mm] g(x)=xe^{2x}- x²e^{2x}
[/mm]
[mm] =(x-x²)e^{2x}
[/mm]
jetzt brauchst du die  Produkt und die Kettenregel für die Ableitungen.
Also [mm] g'(x)=(1-2x)e^{2x}+2e^{2x}(x-x²)
[/mm]
[mm] =(1-2x²)e^{2x}
[/mm]
und [mm] g''(x)=(-4x)e^{2x}+2e^{2x}(1-x²)=(2-4x-2x²)e^{2x}
[/mm]
Das heisst die Möglichen Extremstellen berechnest du mit
g'(x)=0, also
[mm] (x-x²)e^{2x}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-x²=0
[mm] \gdw [/mm] x(1-x)=0
Der Rest sollte jetzt kein Problem mher darstellen
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 01.11.2006 | | Autor: | matzew611 |
Ja besten Dank Marius.
Immer diese "dummen" Fehler, hoffe in den Abiprüfungen passiert mir das nicht..
oh ich seh gerade, Uni-Bielefeld.. ist ja ganz in der Nähe, da werd ich wohl auch nach m Zivi landen..
lg Matze
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