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Forum "Extremwertprobleme" - max inhaltsmaßzahl 2graphen
max inhaltsmaßzahl 2graphen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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max inhaltsmaßzahl 2graphen: Ansatz
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:32 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

Aufgabe
Bestimmen Sie a so, dass die Inhaltsmaßzahl der von den Graphen [mm] G_f [/mm] und [mm] G_g [/mm] eingeschlossenen Fläche maximal wird, wobei [mm] f=-\bruch{1}{a}x^{2}+a [/mm] und [mm] g(x)=-ax^{2}+a^{3} [/mm] und 0<a<1.

Bitte um einen nachvollziehbaren Ansatz wie man an diese Aufgabe "rangehen" kann, stehe momentan ziemlich im Dunkeln, kann weder Nebenbediungen bestimmen oder die Schnittpunkte ausrechnen ...


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: zunächst Schnittstellen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Do 20.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Johnnie,

[willkommenmr] !!

Zunächst einmal benötigen wir als Integrationsgrenzen die Schnittstellen dieser beiden Funktionskurven. Diese erhalten wir, indem wir die beiden Funktionsvorschriften gleichsetzen:

[mm] $$-\bruch{1}{a}*x^2+a [/mm] \ = \ [mm] -a*x^2+a^3$$ [/mm]
Bringen wir nun alle $x_$-Terme auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite:
[mm] $$a*x^2-\bruch{1}{a}*x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^3-a$$ [/mm]
Nun mit $a_$ multiplizieren und ausklammern:
[mm] $$a^2*x^2-x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^4-a^2$$ [/mm]
[mm] $$\left(a^2-1\right)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2*\left(a^2-1\right)$$ [/mm]

Schaffst Du die nächsten Schritte nun selber?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

[mm] -\bruch{1}{a}*x^{2}*a=-x^{2} [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:57 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

... bin heut net ganz bei sache ...
hat sich erledigt

Bezug
                
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

x=-a v x=a ?

Bezug
                        
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Do 20.09.2007
Autor: Blech


> x=-a v x=a ?

Genau, und jetzt integrierst Du |f-g| von -a bis a.

Bezug
        
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

[mm] |\integral_{-a}^{a}{f(x)=(- \bruch{1}{4}x^{2}+a)-(-ax^{2}+ax^{3})dx}| [/mm]

[mm] |[-\bruch{1}{12}x^{3}+a+a\bruch{1}{3}x^{3}-a^{3}]| [/mm]

|F(a)-F(-a)|

[mm] |-\bruch{1}{12}a^{3}+a+a\bruch{1}{3}a^{3}-a^{3}| [/mm] ...?


Bezug
                
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Do 20.09.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Johnny,

du hast dich da irgendwie verhaspelt...

Die erste Funktion war doch [mm] $f(x)=-\frac{1}{\red{a}}x^2+a$ [/mm]

Also [mm] $\int\limits_{-a}^{a}\left(f(x)-g(x)\right)\,dx=\int\limits_{-a}^{a}\left(-\frac{1}{a}x^2+a+ax^2-a^3\right)\,dx$ [/mm]

Das nun summandenweise integrieren...

[mm] $=\left[-\frac{1}{3a}x^3+ax+\frac{1}{3}ax^3-a^3x\right]_{-a}^{a}$ [/mm]

Nun die Grenzen einsetzen....


Kontrolle: [mm] $....=\frac{4}{3}a^2\left(1-a^2\right)$ [/mm]


LG

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 20.09.2007
Autor: Johnnie

gut, das habe ich soweit alles verstanden, danke!
aber wie bestimme ich nun den maximalen extremwert der inhaltsmaßzahl?

Bezug
                                
Bezug
max inhaltsmaßzahl 2graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Do 20.09.2007
Autor: schachuzipus

Hi nochmal,

du hast doch nun eine von $a$ abhängige Funktion für den Flächeninhalt zwischen den beiden Scharen:

[mm] $A(a)=\frac{4}{3}a^2(1-a^2)$ [/mm]

Die musst du nun mit den üblichen Mitteln auf Extrema untersuchen.

Gesucht ist das Maximum von $A$...


Gruß

schachuzipus

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