max. , min. induktiv beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 23.10.2006 | | Autor: | aich |
| Aufgabe | Man beweise induktiv, daß endliche Mengen M [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Maximum und ein Minimum
besitzen. |
hallo erstmal,da ich zum ersten mal etwas hier schreibe bitte ich zu entschuldigen dass ich mich evtl etwas unklar ausdrücke an einigen stellen,muss mich erstmal hier reinfinden.
also die vollständige induktion habe ich soweit begriffen,aber ich kenne sie nur wenn da auch ein summenzeichen vorkommt und man quasi das was man beweisen soll schon mathematisch ausgedrückt vor sich stehen hat.
ich habe also ein problem damit mir den ansatz zu erarbeiten.
also die definition eines maximums besagt ja,dass a ein maximum ist soweit alle x die auch in der menge enthalten sind kleiner a sind.
nun habe ich aber 2 variablen und weiß nicht für welche ich 1 (induktionsanfang) einsetzen soll und was ich dann für die andere einsetzen soll.ich erwarte hier auch keine vollständige lösung,da das ja etwas dreist wäre und es mir ja auch wenig bringt alles nur abzuschreiben,aber es wäre lieb wenn mir jemand bei dem ansatz helfen könnte....danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi aich,
also der Anfang ist so,
eine Menge mit nur einem Element hat immer ein Maximum und ein Minimum, nämlich das einzige Element selbst.
Nur zur IV. Also jede n-elementige Menge habe ein Maximum und ein Minimum.
Eine (n+1)-elementige Menge kann zerlegt werden in eine n-elementige Menge und eine Menge mit einem Element.
Die n-elementige Menge hat ein Maximum und ein Minimum nach IV. Diese Extremwerte nehme man und vergleiche sie mit dem Element aus der 1-elementigen Menge. Ist das Element aus der 1-elementigen Menge größer oder kleiner als die Extremwerte aus der n-elementigen Menge hat man neue Extremwerte gefunden. Ansonsten bleiben die Extremwerte aus der n-elementigen Menge bestehen.
In jedem Fall hat man aber ein Maximum und ein Minimum für die (n+1)-elementige Menge bestimmt.
Damit ist die Induktion beendet und der Beweis erbracht.
mfg ullim
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