max. Fläche zwischen Graphen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Fr 31.08.2007 | | Autor: | hyper |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Funktionen f(x) = -x²+2 und g(x)=2x²-10.
Die Graphen begrenzen eine Fläche. In diese Fläche sollen Rechtecke eingezeichnet werden, deren Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Wie groß sind die Längen der Seiten des Rechtecks, dass von allen möglichen den maximalen Flächeninhalt hat? |
Ich habe zuerst beide Graphen in ein Koordinatensystem mit Hilfe von Wertetabellen gezeichnet.
Nachdem ich die Bedinung für die Fläche aufgestellt habe(A = a*b) fing ich an zu rätseln, denn wir haben Integralrechnung noch nie zuvor behandelt.
Nachdem ich mich im Lehrbuch mit dem Thema "Bestimmung von Flächeninhaltsfunktionen" auseinander gesetzt habe, habe ich gesehen, dass man zwischen den Punkten, welche ich berechnet habe ein Rechteck zeichnen kann, was ich dann auch gemacht habe. Folgende Punkte habe ich miteinander verbunden:
P1(-1|-1), P2(1|1), P3(1|-8), P4(-1|-8). Meiner Meinung nach ist dies das größt mögliche Rechteck, welches man in die eingeschlossene Fläche bekommen kann und es hat die Fläche von 2*9 Einheiten.
Leider fehlt mir dazu jegliche mathematische Erläuterung. Ich bitte an dieser Stelle um eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Wladi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben seien zwei Funktionen f(x) = -x²+2 und
> g(x)=2x²-10.
> Die Graphen begrenzen eine Fläche. In diese Fläche sollen
> Rechtecke eingezeichnet werden, deren Seiten parallel zu
> den Koordinatenachsen liegen. Wie groß sind die Längen der
> Seiten des Rechtecks, dass von allen möglichen den
> maximalen Flächeninhalt hat?
Du hast es hier mit einer klassischen Extremwertaufgabe zu tun, welche lediglich Wissen über die Differentiation und nicht über die Integration verlangt.
Die Hauptbedingung hast du schon richtig erkannt, sie lautet
HB:A(a,b)=a*b [mm] \to [/mm] Max!
Als Nebenbedingung musst du die Bestimmungen für die Seiten des Rechtecks erkennen:
(Hinweis: Da es sich bei beiden Funktionen um achsensymmetrische Funktionen handelt, kann man die Lösung dadurch ermitteln, indem man den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks für [mm] x\ge0 [/mm] bestimmt)
NB1: a=x (folgt aus meinem Hinweis)
NB2: [mm] b=f(x)-g(x)=-x^{2}+2-(2x^{2}-10)=-3x^{2}-8
[/mm]
Wenn du die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung einsetzt erhälst du:
[mm] A(x)=x*(-3x^{2}-8)=-3x^{3}-8x \to [/mm] Max!
Von dieser Funktion musst du nun nur noch den Hochpunkt bestimmen (A'(x)=0 setzen und Ergebnis dann in A''(x) einsetzen und nachweisen, dass A''(x)<0 gilt) und du hast die Stelle x ermittelt, bei der das Rechteck für [mm] x\ge0 [/mm] maximal wird.
Wenn noch Fragen sind, dann her damit. 
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Fr 31.08.2007 | | Autor: | hyper |
erst einmal vielen dank für die schnelle antwort, nun habe ich das problem verstanden und konnte es entsprechend lösen
wozu ich noch eine frage hätte ist:
$ [mm] b=f(x)-g(x)=-x^{2}+2-(2x^{2}-10)=-3x^{2}-8 [/mm] $
denn beim auflösen der klammer bekomme ich $ [mm] -3x^{2}+12 [/mm] $ heraus, ich hoffe für mich, dass du dich dort geirrt hast, ansonsten noch einmal vielen dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
Du hast natürlich richtig gerechnet,
[mm] -x^{2}+2-(2x^{2}-10)=-x^{2}+2-2x^{2}+10=-3x^{2}+12
[/mm]
Steffi
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