max. Definitionsbereich < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie den max. Definitionsbereich im [mm] R^2, [/mm] für den die folgenden Funktionen reelle Werte haben.
[mm] f(x;y)=x^2+y^2 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Beschreiben Sie jeweils für die gegebenen Funktionen die Punktmengen
{(x;y;z)|z=f(x;y)} (mit den entsprechend anstelle von x und y verwendeten Variablenbezeichnungen.) Versuchen Sie hierbei Symmetrien auszunutzen, verwenden Sie ggf. auch Höhenlinien oder senkrechte Schnitte zur Entwicklung Ihrer Vorstellung |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.) Mir ist klar, wie reelle Zahlen def. sind und anhand der Funktion ist zu sehen, dass es sich um 2 Parabeln handelt. Nun verstehe ich aber die Zuordnungsvorschrift nicht ganz. Was bedeutet das x;y ?
Im Falle von [mm] f(x)=x^2 [/mm] wäre D=R
2.) Mir fehlt bei dieser Aufgabe komplett der Ansatz. Was ist mit Punktmengen gemeint? und wie soll ich die Symmetrien verstehen?
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Zum max. Definitionsbereich (Aufgabe 1):
egal, wie du x und y wählst, ist der Ausdruck im reellen definiert und liefert wieder eine reelle Zahl, deshalb ist der Definitionsbereich der [mm] R^2 [/mm] (wie man leicht sieht  )
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> 1.) Mir ist klar, wie reelle Zahlen def. sind und anhand
> der Funktion ist zu sehen, dass es sich um 2 Parabeln
> handelt. Nun verstehe ich aber die Zuordnungsvorschrift
> nicht ganz. Was bedeutet das x;y ?
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Richtig, wenn Du x=0 festhälst und also [mm] z=y^2 [/mm] betrachtest erhälst Du eine Parabel (analog für y=0 -> [mm] z=x^2) [/mm]
Evtl. hast Du ein tool, um Dir die Funktion zeichnen zu lassen?
Punktmenge: durch die Vorschrift ist eine Teilmenge des 3-dimensionalen Raumes definiert; sprich, Du kannst x und y beliebig wählen und dann ist die 3. Koordinate (i.A. die Höhe fest) in Deinem Fall erhällst Du eine Fläche
Wegen den Quadraten ist z immer größer Null. Wählst Du ein beliebiges [mm] z=z_0\geq [/mm] 0 aus, dann erhälst Du eine Gleichung der Form [mm] z_0=x^2+y^2, [/mm] ersetzt du hier [mm] z_0 [/mm] durch [mm] r^2 [/mm] hast du ein Kreisgleichung [mm] r^2=x^2+y^2, [/mm] Deine Fläche ist also ein Rotationsparabolid, er entsteht, wenn Du dir deine Parabel denkst, und [mm] (z=x^2) [/mm] und diese um die z-Achse rotiertst. Damit hast Du auch die Symmetrie deiner Fläche(Punktmenge)
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Ach ja: Durch das Auswählen und Festhalten eines [mm] z=z_0 [/mm] erhälst Du einen waagerechten Schnitt durch die Fläche bzw. eine Höhenlinie und diese ist eben ein Kreis und also wunderhübsch symmetrisch
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den max. Definitionsbereich im [mm] R^2, [/mm] für den die folgenden Funktionen reelle Werte haben.
b) [mm] f(u;v)=\bruch {2}{u^2+v^2}
[/mm]
c) [mm] f(r_1;r_2)=\wurzel{a^2-r_1^2-r_^2}
[/mm]
d) [mm] f(x;y)=\wurzel{x*y}
[/mm]
e) [mm] f(r;s)=\bruch{1}{\wurzel{a^2-r^2-s^2}}
[/mm]
f) [mm] f(x;y)=\bruch{xy}{x-y}
[/mm]
Beschreiben Sie jeweils für die gegebenen Funktionen die Punktmengen
{(x;y;z)|z=f(x;y)} (mit den entsprechend anstelle von x und y verwendeten Variablenbezeichnungen.) Versuchen Sie hierbei Symmetrien auszunutzen, verwenden Sie ggf. auch Höhenlinien oder senkrechte Schnitte zur Entwicklung Ihrer Vorstellung
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Vielen Dank für die sehr ausführliche Hilfestellung. Nun weiß ich ja wie ich weiter machen kann. Leider habe ich kein Programm zum zeichen dieser Funktionen
zur b)
der Nenner darf nicht 0 werden, wobei entweder u bzw. v den Wert Null haben darf. Beide jedoch nicht. somit wäre hier [mm] D=R^2\0
[/mm]
zur c)
der Wert der Wurzel muss größer Null sein bzw. darf nicht neg. sein
somit ist doch [mm] D=R^2 [/mm] mit [mm] (a^2-r_1^2-r_2^2)>0
[/mm]
Die Symmetrie wäre hier doch an der x-Achse bei Rotation?
zur d)
einer der beiden Faktoren darf nicht Null ergeben und auch nicht negativ sein. [mm] D=R^2 [/mm] mit xy>0
zur e)
analog wie die c nur zur Symmetrie weiß ich nichts
zur f)
x-y darf nicht Null sein somit ist [mm] D=R^2 [/mm] mit x-y [mm] \not=0
[/mm]
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> zur b)
> der Nenner darf nicht 0 werden, wobei entweder u bzw. v den
> Wert Null haben darf. Beide jedoch nicht. somit wäre hier
> [mm]D=R^2\0[/mm]
>
Hier ist wohl in der Darstellung der Ausschluss der Null verlorengegangen. Ich weiß ja nicht, wie genau der Aufgabensteller die Form kontrolliert; hier mein Vorschlag für die exakte Darstellung:
[mm]D=R^2\setminus\{(0,0)\}[/mm]
> zur c)
> der Wert der Wurzel muss größer Null sein bzw. darf nicht
> neg. sein
> somit ist doch [mm]D=R^2[/mm] mit [mm](a^2-r_1^2-r_2^2)>0[/mm]
>
Wie Du im Text geschrieben hast: größer-gleich 0; aber man kann das noch etwas ausbauen. Die Bediengung [mm](a^2-r_1^2-r_2^2)\geq0[/mm] kann man umstellen:[mm](a^2\geq r_1^2+r_2^2)[/mm] das ist das Innere eines Kreises mit dem Radius a.
> Die Symmetrie wäre hier doch an der x-Achse bei Rotation?
>
> zur d)
> einer der beiden Faktoren darf nicht Null ergeben und auch
> nicht negativ sein. [mm]D=R^2[/mm] mit xy>0
>
Ein Produkt wird größer 0, wenn beide Faktoren größer oder kleiner 0 sind, also wenn der Punkt (x,y) im ersten oder 3. Quadranten (einschließlich der Achsen) ist.
> zur e)
> analog wie die c nur zur Symmetrie weiß ich nichts
>
also siehe auch meine Anmerkung zu c), allerdings zählt hier der Rand des Kreises nicht zu D
> zur f)
> x-y darf nicht Null sein somit ist [mm]D=R^2[/mm] mit x-y [mm]\not=0[/mm]
>
... also[mm] x\neq y[/mm]
Du hast also wieder [mm] R^2 [/mm] und schließt die Gerade y=x aus
Soweit zum Definitionsbereich; die Sache mit der Symmetrie muss ich mir noch überlegen
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c) Also zur Symmetrie usw.
Der Def-Bereich ist der Kreis (einschließlich Rand) mit dem Radius a
Höhenlinien: wir halten wieder ein [mm] z=z_0 [/mm] fest
und erhalten
[mm]z_0=\sqrt{a^2-r_1^2-r_2^2}[/mm]
quadriert man und bringt [mm] r_1^2 [/mm] und [mm] r_2^2 [/mm] auf die rechte Seite, erhält man
[mm]z_0^2+r_1^2+r_2^2=a^2[/mm] das ist die Gleichung einer Kugel und weil aber [mm] z_0\geq0 [/mm] ist (wegen der Definition des Wurzelsymbols) nur die obere Halbkugel. Insofern ist die die Fläche an der x-Achse [mm] (r_1-Achse) [/mm] nicht rotationssymmetrisch, aber an der z-Achse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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