matrix diagonalisierbar?beweis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 25.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe |
Zeigen Sie, dass jede Matrix A 2 [mm] R^{n×n} [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = [mm] 1_n [/mm] diagonalisierbar ist. |
Hallo!
Zur Diagonalsiierbarkeit hab ich nun die Sache mit den EIgenwerten udn Vektoren verstanden, aber ich weiss nicht, wie ich da an diesen Beweis herangehen muss.
Ich glaub ich weiss was gelten muss, aber nicht wie ich zeige, dass es gilt:
Für die Diagonalisierbarkeit braucht man eine
n x n matrix mit n verschiedenen eigenwerten
und damit jeweils n eigenverktoren dazu. Diese Eigenvektoren sollen linear unabhängig sein, daher exisiert eine Eigenbasis.
Und mit der Existienz dieser Eigenbasis ist auch gezeigt, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
Nur wie vorgehen?
Oder geht es auf einem anderen Wege,
danke für die tips!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Zeigen Sie, dass jede Matrix A 2 [mm]R^{n×n}[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = [mm]1_n[/mm]
> diagonalisierbar ist.
> Hallo!
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> Zur Diagonalsiierbarkeit hab ich nun die Sache mit den
> EIgenwerten udn Vektoren verstanden, aber ich weiss nicht,
> wie ich da an diesen Beweis herangehen muss.
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> Ich glaub ich weiss was gelten muss, aber nicht wie ich
> zeige, dass es gilt:
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> Für die Diagonalisierbarkeit braucht man eine
> n x n matrix mit n verschiedenen eigenwerten
Nein ! Wenn Du n verschiedene Eigenwerte hast, so ist die Matrix diagonalisierbar. Aber eine diagonalisierbare Matrix muß nicht n verschiedene Eigenwerte haben. Einfaches Beispiel: Einhaitsmatrix
Was Du bei obiger Aufgabe brauchst , ist eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] aus Eigenvektoren
> und damit jeweils n eigenverktoren dazu. Diese
> Eigenvektoren sollen linear unabhängig sein, daher
> exisiert eine Eigenbasis.
> Und mit der Existienz dieser Eigenbasis ist auch gezeigt,
> dass die Matrix diagonalisierbar ist.
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> Nur wie vorgehen?
mache Dir klar, dass aus $ [mm] A^2 =1_n [/mm] $ folgt:
[mm] $\IR^n [/mm] = [mm] Kern(A-1_n) \oplus Kern(A+1_n)$
[/mm]
Siehst Du nun , wie Du eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] aus Eigenvektoren von A bekommst ?
FRED
> Oder geht es auf einem anderen Wege,
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> danke für die tips!
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