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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | | sei f [mm] \in C^{\infty}(\IR^3,\IR),(x,y,z)\mapsto x^2+x*y-sin(z). [/mm] für vektoren v,w [mm] \in \IR^3 [/mm] sei [mm] \mu(v,w)|(x,y,z)=0 [/mm] die richtungsableitung nach w der richtungsableitung von f nach v an der stelle (x,y,z)=0.bestimmen sie die matrix zu [mm] \mu [/mm] bzgl. der kartesischen standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm] |
hallo,
als erstes habe ich die 2.ableitung gebildet und zwar lautet die: grad f''(x,y,z)=(2,0,sin(z)).dann heißt es ja, f besitzt an der stelle (x,y,z)=0 eine ableitung in richtung v,falls das gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v} (0,0,0)=\limes_{t\rightarrow\0} [/mm] 1/t*(f((0,0,0)+t*v)-f(0,0,0)) oder?,jetzt versteh ich aber noch nicht ganz was vektor v und w sein soll und wie ich weiter machen kann.ich hoffe ihr könnt mir wieder mal helfen.vielen dank.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Sa 31.05.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo ihr lieben,
wär echt toll wenn mir jemand vielleicht noch ein tipp zu der aufgabe geben könnte oder sagen könnte ob ich mit meinen ersten schritten richtig liege.
danke und grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 01.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
| Aufgabe | | sei f [mm] \in C^{\infty}(\IR^3,\IR),(x,y,z)\mapsto x^2+x*y-sin(z). [/mm] für vektoren v,w [mm] \in \IR^3 [/mm] sei [mm] \mu(v,w)|(x,y,z)=0 [/mm] die richtungsableitung nach w der richtungsableitung von f nach v an der stelle (x,y,z)=0.bestimmen sie die matrix zu [mm] \mu [/mm] bzgl. der kartesischen standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm] |
> als erstes habe ich die 2.ableitung gebildet und zwar lautet die:
> grad f''(x,y,z)=(2,0,sin(z)).
Das hat mit dem Gradienten wenig zu tun. Du hast die drei Komponenten des Gradienten von f jeweils nach der entsprechenden Komponente abgeleitet. Die zweite Ableitung ist eine [mm] $3\times3$-Matrix, [/mm] du hast die Diagonalelemente ausgerechnet.
> dann heißt es ja, f besitzt an der stelle (x,y,z)=0 eine ableitung in richtung v,falls das gilt:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v} (0,0,0)=\limes_{t\rightarrow\0} 1/t*(f((0,0,0)+t*v)-f(0,0,0))[/mm]
> oder?
Richtig. Wenn die Funktion f total differenzierbar ist, dann kannst du die Richtungsableitung auch schreiben als
[mm]\bruch{\partial f}{\partial v} (0,0,0) = \mathop{\mathrm{grad}} f(0,0,0) \cdot v [/mm]
Das ist hier der Fall.
> jetzt versteh ich
> aber noch nicht ganz was vektor v und w sein soll und wie ich weiter machen kann.
Du rechnest zuerst die Richtungsableitung nach v aus. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion, in der der Vektor v vorkommt:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial v} = v_x \bruch{\partial f}{\partial x}+ v_y \bruch{\partial f}{\partial y}+ v_z \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm]
Dann machst du das Ganze noch einmal mit dieser Funktion und dem Vektor w.
Überleg dir, was das mit der Matrix der zweiten Ableitungen von f zu tun hat!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 02.06.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo,
danke für die hilfe aber die aufgabe ist jetzt bereits gelöst. :)
viele grüße
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