mathematisches Problem < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:45 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Big_T_85 |
| Aufgabe | a) Man zeige: Jedes z [mm] \in \IC [/mm] lässt sich in der Form [mm] z=r*e^{i*\alpha} [/mm] schreiben, wobei r= "Betrag von" z und [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
Für [mm] z\not= [/mm] 0 ist [mm] \alpha [/mm] bis auf ein Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] eindeutig bestimmt, d.h.,
[mm] r*e^{iP\alpha1}, r\not=0 \Rigtharrow \alpha1 [/mm] - [mm] \alpha2 \in {2*k*\pi : k \in \IZ}.
[/mm]
b) Sei n [mm] \in \IN, n\ge [/mm] 2. Zeigen sie, dass die Gleichung [mm] z^{n}=1 [/mm] in [mm] \IC [/mm] genau n verschiedene Lösungen hat, und zwar die Zahlen: [mm] z_{k}=e^{i*\bruch{2*k*\pi}{n}}, [/mm] k=0,1,...,n-1.
[Dies sind die Komplexen Zahlen auf dem regelmäßigen n-Eck im Einheitskreis mit einer Ecke 1]. |
Liebe Mathematiker,
da ich bei dieser Aufgabe leider weder Lösungsanzatz, noch eine Idee der Formulierung habe, hoffe ich, dass ihr mir da helfen könntet!!!
... wäre sehr nett...
liebe grüße
TONI
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
in deiner Frage sind ein paar Zeichensetzungsfehler. Ich bitte darum diese entsprechend zu bearbeiten.
Lösungsansätze:
a) überleg dir zurerst was diese Darstellung bedeutet. Du kannst Dir das geometrisch in der Ebene vorstellen, wenn Du bedenkst wie [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] zu [mm] $\cos\phi$ [/mm] und [mm] $\sin\phi$ [/mm] im Zusammenhang steht. Einfach mal aufmalen und schauen ...
b) dies ist eine einfache Folgerung aus der überlegung oben. Wie die Formel schon verdeutlicht. Stelle dir [mm] $\IC$ [/mm] als einen zwei-dimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] vor, male den Einheitskreis auf, schaue welche komplexen Zahlen er repräsentiert und dann ist es meiner Meinung nach schon klar. Falls Du nicht weiter kommst, kannst Du auch mal nach Einheitswurzeln suchen.
--
Mit freundlichen Grüßen
Matthias Kretschmer
|
|
|
|
