magnet. Induktion Hohlzylinder < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein unendlich langer Hohlzylinder aus leitendem Material (Innenradius R1, Aussenradius R2) werde homogen von einem stationären elektrischen Strom mit Stromdichte [mm] \vec{j} [/mm] in Richtung der Zylinderachse durchflossen.
a) Zeigen sie mit Hilfe des Biot-Savart Gesetzes und unter Nutzung der Symmetrie des Problems, dass die magnetische Induktion [mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] stets senkrecht zur Zylinderachse und senkrecht zum Ortsvektor [mm] \vec{r} [/mm] gerichtet ist (Koordinatenursprung liege auf der Zylinderachse) und dass ihr Betrag B nur vom Abstand [mm] \delta [/mm] zur Zylinderachse abhängt.
b) Berechnen Sie [mm] B(\delta) [/mm] unter Verwendung von a) aus dem Ampere'schen Gesetz
(Sie können die Rechnung auch mit Biot-Savart machen). |
Das Biot-Savart Gesetz sagt folgendes:
[mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] = [mm] \bruch{\mu_{0}}{4\pi}\integral{\bruch{\vec{j}\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} d^{3}r'}
[/mm]
Führt man das Kreuzprodukt aus, erhält man für die dritte Komponente 0, somit ist auch die dritte Komponente von B gleich 0 und B ist senkrecht zur Zylinderachse.
Aber wie kann man nun die Symmetrie ausnutzen, um den Rest zu zeigen?
Vielen Dank schonmal
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mo 28.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da der Leiter unendlich lang ist (x-Richtung) kann B nicht bon x abhängen. da er symetrisch zur x-Achse is, muss B in Gleichem Abstand zur Achse denselben Wert haben. aus j*A kannst du I ausrechnen.
reicht das?
Gruss leduart.
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Gut, damit ist der erste Teil geklärt und auch der dritte Teil (in gleichem Abstand zu x gleicher wert -> [mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] nur vom Abstand [mm] \delta [/mm] abhängig)...
Weiterhin gilt dann I = [mm] 2\pi j(R2^{2}-R1^2) [/mm] ...
Aber warum ist [mm] \vec{r} [/mm] senkrecht zu [mm] \vec{B}(\vec{r})?
[/mm]
Aus dem Ampere'schen Gesetz kann ich dann denke ich [mm] B(\delta) [/mm] berechnen:
[mm] \integral_{\partial F}{\vec{B}(\vec{r}) d\vec{r} = \mu_{}*I}
[/mm]
Kann man durch die Symmetrie dann B vorziehen, da es ja von [mm] \vec{r} [/mm] nicht mehr abhängt?
Vielen Dank schonmal für die erste Antwort
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 28.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch [mm] j\times [/mm] r das ist senkreecht zu r und [mm] j\times [/mm] r'=0
wenn ich r' richtig interpretiere.
> Weiterhin gilt dann I = [mm]2\pi j(R2^{2}-R1^2)[/mm] ...
>
> Aber warum ist [mm]\vec{r}[/mm] senkrecht zu [mm]\vec{B}(\vec{r})?[/mm]
>
> Aus dem Ampere'schen Gesetz kann ich dann denke ich
> [mm]B(\delta)[/mm] berechnen:
>
> [mm]\integral_{\partial F}{\vec{B}(\vec{r}) d\vec{r} = \mu_{}*I}[/mm]
wenn [mm] \partial [/mm] ein konzentrischer Kreie ist ich find es ungünstig dasselbe r zu nehmen, das du oben benutzt hast.
ich nenns mal s, dann sind B(s) und ds parallel,, also kannst du die Beträge schreiben und dann B rausziehen.
Vektor B hängt natürlich von vektor s ab. nur der Betrag nicht.
> Kann man durch die Symmetrie dann B vorziehen, da es ja von
> [mm]\vec{r}[/mm] nicht mehr abhängt?
>Gruss leduart
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Danke nochmal!
> du hast doch [mm]j\times[/mm] r das ist senkreecht zu r und [mm]j\times[/mm]
> r'=0
> wenn ich r' richtig interpretiere.
>
Wenn j [mm] \times [/mm] r' gleich 0 ist, kann ich j [mm] \times [/mm] r vors Integral ziehen und dann ist B auch senkrecht zu r, ich hoffe das ist so richtig???
Nur warum j [mm] \times [/mm] r' gleich 0 ist verstehe ich noch nicht ganz, oder kann man die x1 und x2 komponenten einfach gleich setzen wegen der symmetrie?
>
> > Weiterhin gilt dann I = [mm]2\pi j(R2^{2}-R1^2)[/mm] ...
> >
> > Aber warum ist [mm]\vec{r}[/mm] senkrecht zu [mm]\vec{B}(\vec{r})?[/mm]
> >
> > Aus dem Ampere'schen Gesetz kann ich dann denke ich
> > [mm]B(\delta)[/mm] berechnen:
> >
> > [mm]\integral_{\partial F}{\vec{B}(\vec{r}) d\vec{r} = \mu_{}*I}[/mm]
>
> wenn [mm]\partial[/mm] ein konzentrischer Kreie ist ich find es
> ungünstig dasselbe r zu nehmen, das du oben benutzt hast.
> ich nenns mal s, dann sind B(s) und ds parallel,, also
> kannst du die Beträge schreiben und dann B rausziehen.
> Vektor B hängt natürlich von vektor s ab. nur der Betrag
> nicht.
Also ist dann:
[mm] B*2\pi\delta [/mm] = [mm] \mu_{0}*I [/mm] ? (wobei [mm] \delta [/mm] der abstand von der x3-achse ist).
Muss ich dabei nicht auch noch zwischen innen und aussen unterscheiden?
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 29.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht vertu ich mich ja, was ist den [mm] \vec{r'} [/mm] in deiner Gl.?
zum 2ten Teil. Im inneren ist doch innerhalb des Kreise I=0 also auch kein B, bzw. B=0
Gruss leduart.
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[mm] \vec{r}' [/mm] ist der Vektor, der sich im Zylinder befindet und über den integriert wird.
Siehe Biot-Savart: [mm] \vec{B}(\vec{r}) [/mm] = $ [mm] \bruch{\mu_{0}}{4\pi}\integral{\bruch{\vec{j}\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}} d^{3}r'} [/mm] $
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