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| Aufgabe | Die Parrabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion:
p:x [mm] \to [/mm] p(x); [mm] D_{p} [/mm] = [mm] \IR,p(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5}(x^{2}-25)
[/mm]
Gegeben sind ferner die linearen Funktionen
[mm] t_{m}:x \to [/mm] t(x); [mm] D_{t} [/mm] = [mm] \IR,t(x) [/mm] = [mm] mx+5-\bruch{5}{2}m [/mm] , m [mm] \in \IR
[/mm]
Der Graph einer solchen Funktion t ist die Grade Gt. Bestimmen Sie die Werte von m [mm] \in \IR, [/mm] für welche die jeweils zugehörige Gerade Gt mit der Parabel Gp nur einen Punkt gemeinsam hat. |
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo AngelofEffekt90,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Parrabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion:
> p:x [mm]\to[/mm] p(x); [mm]D_{p}[/mm] = [mm]\IR,p(x)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{5}(x^{2}-25)[/mm]
>
> Gegeben sind ferner die linearen Funktionen
> [mm]t_{m}:x \to[/mm] t(x); [mm]D_{t}[/mm] = [mm]\IR,t(x)[/mm] = [mm]mx+5-\bruch{5}{2}m[/mm] ,
> m [mm]\in \IR[/mm]
>
> Der Graph einer solchen Funktion t ist die Grade Gt.
> Bestimmen Sie die Werte von m [mm]\in \IR,[/mm] für welche die
> jeweils zugehörige Gerade Gt mit der Parabel Gp nur einen
> Punkt gemeinsam hat.
> Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe
> angehen soll.
>
Bestimme zunächst die Lösungen der Gleichung
[mm]p\left(x\right)=t\left(x\right)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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muss ich dabei zuerst eine Ableitung bilden? Was genau mache ich mit dem m?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Wege
a) du schneidest Gerade und Parabel, das gibt 2 eine oder keine lösung, du bestimmst m so, dass es nur eine Lösung gibt. dazu musst du nicht differenzieren.
b). du bestimmst die Steigung in [mm] x_0,p(x_0) [/mm] dann musst t(x) durch [mm] (x_0,p(x_0)) [/mm] gehen und die Steigung [mm] p'(x_0) [/mm] haben.daraus findest du wieder m und [mm] x_0
[/mm]
Gruss leduart
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Ich sitze jetzt bereits mit meiner Freundin an dieser Aufgabe und wir kommen leider nicht auf ein korrektes Ergebnis. Wir würden uns sehr freuen, wenn du den Lösungsweg posten könntest, damit wir unseren Fehler finden können.
Mit freundlichen Grüßen
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Wir haben übrigens versucht die Aufgabe nach Variante b) zu lösen.
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Hallo ihr beiden,
> Ich sitze jetzt bereits mit meiner Freundin an dieser
> Aufgabe und wir kommen leider nicht auf ein korrektes
> Ergebnis. Wir würden uns sehr freuen, wenn du den
> Lösungsweg posten könntest, damit wir unseren Fehler
> finden können.
Hier läuft es aber genau umgekehrt.
Ihr zeigt euren Lösungsweg bzw. -versuch und wir stöbern nach Fehlern.
Eine Anleitung hat leduart ja geschrieben.
Setzt das um, schaut, wie weit ihr kommt und postet (zumindest) einen konkreten Ansatz.
>
> Mit freundlichen Grüßen
Zurück
schachuzipus
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p(x)= [mm] -\bruch{1}{5}(x^{2}-25)
[/mm]
p(x)= [mm] -\bruch{1}{5}x^{2}+5
[/mm]
p'(x)= [mm] -\bruch{2}{5}x
[/mm]
t(x)= [mm] mx-\bruch{5}{2}m+5
[/mm]
m= [mm] -\bruch{2}{5}x
[/mm]
t(x)= [mm] (-\bruch{2}{5}x)x [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}(-\bruch{2}{5}x)+5
[/mm]
t(x)= [mm] -\bruch{2}{5}x^{2}+x+5
[/mm]
t(x)= [mm] x^{2}-\bruch{5}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{25}{2}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
p= [mm] -\bruch{5}{2}; [/mm] q= [mm] -\bruch{25}{2};
[/mm]
[mm] x_{1,2}= -\bruch{\bruch{-5}{2}}{2} \pm \wurzel{\bruch{(\bruch{-5}{2})^{2}}{4} - \bruch{-25}{2}}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= \bruch{5}{4} \pm \wurzel{\bruch{25}{16}+\bruch{25}{2}}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= \bruch{5}{4} \pm \wurzel{\bruch{225}{16}}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= \bruch{5}{4} \pm \bruch{15}{4}
[/mm]
[mm] x_{1}= -\bruch{5}{2}; x_{2}= [/mm] 5;
t(x)= 0
[mm] t(x_{1})= m(-\bruch{5}{2})-\bruch{5}{2}m+5 [/mm] = [mm] -\bruch{5}{2}m-\bruch{5}{2}m+5 [/mm] = 0
-5m+5 = 0
-5m = -5
[mm] m_{1}= [/mm] 1
[mm] t(x_{2})= m(5)-\bruch{5}{2}m+5 [/mm] = [mm] 5m-\bruch{5}{2}m+5 [/mm] = 0
[mm] \bruch{5}{2}m [/mm] = -5
[mm] m_{2} [/mm] = -2
t(x)= [mm] mx-\bruch{5}{2}m+5
[/mm]
[mm] m_{1}= [/mm] 1 [mm] \to [/mm] t(x)= [mm] x+\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] m_{2}=-2 \to [/mm] t(x)= [mm] -2x^{2}+10
[/mm]
leider haben wir im Taschenrechner feststellen müssen, dass die richtige Lösung t(x)=2x-10 ist. (Grafikprogramm)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Bis [mm] t(x)= -\bruch{2}{5}x^{2}+x+5[/mm] ist es richtig.
Dann scheinst du aber die Nullstellen von t berechnen zu wollen.
Diese sind aber für die Aufgabe uninteressant.
Interessanter wäre es zu wissen, für welche x (neben t'(x)=p'(x)) auch t(x)=p(x) gilt.
Hinweis: Die Stellen, an denen sich die Graphen von t und p berühren, nenne ich ebenfalls x und nicht [mm] x_0 [/mm] (wie leduart das tut), was ich auch als nicht so unüblich erachte.
Insofern ist [mm] t(x)= -\bruch{2}{5}x^{2}+x+5 [/mm] als [mm] t(x_0)=-\bruch{2}{5}x_0^{2}+x_0 +5 [/mm] zu verstehen.
Gruß
Hans
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:32 Do 06.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
leider ist schon diese t(x) falsch, es ist ja keine gerade.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Do 06.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> p(x)= [mm]-\bruch{1}{5}(x^{2}-25)[/mm]
> p(x)= [mm]-\bruch{1}{5}x^{2}+5[/mm]
> p'(x)= [mm]-\bruch{2}{5}x[/mm]
>
> t(x)= [mm]mx-\bruch{5}{2}m+5[/mm]
>
> m= [mm]-\bruch{2}{5}x[/mm]
soweit eigentlich richtig, aber das variable x in t(x) und das [mm] x_0 [/mm] an dem die Tangente die Steigung [mm] -2/5x_0 [/mm] hat haben erstmal nichts miteinander zu tun. also setzt, wie es auch in meiner Anleitung stand nen festen Punkt auf der Parabel fest und nennt ihn [mm] x_0
[/mm]
t(x) hat dann die Steigung [mm] m=-2/5x_0
[/mm]
also [mm] t(x)=-2/5x_0*x+x_0+5
[/mm]
ausserdem muss t(x) durch den Punkt [mm] (x_0,p(x_0)=(x_0, -1/5x_0^2+5
[/mm]
gehen
also [mm] -1/5x_0^2+5=-2/5x_0*x_0+x_0+5
[/mm]
daraus kann man [mm] x_0 [/mm] ausrechnen. es gibt 2 Werte, also auch 2 verschiedene m und damit 2 verschiedene t(x)
eines davon ist ne parallele zur x-Achse
euer Graphikprogramm habt ihr falsch angewendet, die Gerade wäre Tangente an [mm] p(x)=+1/5x^2-5 [/mm] also die an der x-achse gespiegelte Gerade.
> t(x)= [mm](-\bruch{2}{5}x)x[/mm] - [mm]\bruch{5}{2}(-\bruch{2}{5}x)+5[/mm]
> t(x)= [mm]-\bruch{2}{5}x^{2}+x+5[/mm]
an der Stelle hättet ihr sehen müssen, dass das ja keine Gerade ist!
Gruss leduart
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