lot und fußpunkt berechnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 17.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | Fällen Sie vom punkt p(6;5;-3) das lot auf die ebene
[mm] E1:\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{3 \\ 2 \\ -3}+\lambda\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\mu\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
und bestimmen Sie die koordinaten des lotfußpunktes Q. |
Kann mir wohl jemand erklären wie ich das machen soll?
Steh total auf em Schlauch.
Vielen Dank schonmal in voraus.
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Hi,
Bestimme zunächst die Gerade die durch den Punkt [mm] \\P [/mm] geht und orthogonal zur Ebene [mm] \\E [/mm] ist. Dann musst du die berechnete Gerade mit der Ebene gleichsetzen und das entstandene LGS in Zeilenstufenform bringen und die Lösung in deine Geradengleichung oder in deine Ebenegleichung einsetzen. Damit erhälst du dann dein Lotfußpunkt.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Di 17.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok, vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Also ich habe jetzt folgendes berechnet:
P(6,5,-3)
E: [mm] \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{3 \\ 2 \\ -3}+\lambda*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\mu*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \to [/mm] L: [mm] \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{6 \\ 5 \\ -3}+\lambda*\vektor{3 \\ 2 \\ -3} [/mm] Ist das meine Lotgerade?
Hab dann [mm] \lambda [/mm] aufgelöst und -4 erhalten.
Das hab ich dann in L eingestzt und den Vektor [mm] \vektor{-6 \\ -3 \\ 9} [/mm] herausbekommen.
Ist das jetzt mein Lotfußpunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 23.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Achilles
Deine Gerade steht nicht senkrecht auf der Ebene.
Probe: der Geradenvektor muss senkrecht auf den 2 Vektoren stehen, die die Ebene aufspannen, d.h. das Skalarprodukt mit beiden muss 0 sein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Aha und was genau heißt das jetzt?
Wo genau ist denn mein Fehler?
Stimmt L nicht oder ist das nicht der Fußpunkt oder was genau hab ich falsch gemacht und wie macht man es richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 23.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Gerade stimmt nicht, und da ich nicht weiss, wie du sie ausgerechnet hast kann ich deinen Fehler nicht sagen:
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Also ich habe jetzt folgendes berechnet:
> P(6,5,-3)
> E: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{3 \\ 2 \\ -3}+\lambda*\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\mu*\vektor{2 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] L: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{6 \\ 5 \\ -3}+\lambda*\vektor{3 \\ 2 \\ -3}[/mm]
> Ist das meine Lotgerade?
Nein, weil sie nicht senkrecht auf der Ebene steht. Du brauchst einen Richtungsvektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene steht. Du findest ihn, indem Du z.B. das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene nimmst.
>
> Hab dann [mm]\lambda[/mm] aufgelöst und -4 erhalten.
Verstehe ich nicht. Wie kann man hier nach [mm] \lambda [/mm] auflösen...? Da sind doch noch Unbekannte x,y,z drin. Oder meinst Du, Du hast die Ebene und die Gerade gleichgesetzt und dann aufgelöst? Das wäre die richtige Vorgehensweise, sobald Du den richtigen Richtungsvektor der Geraden gefunden hast!
>
> Das hab ich dann in L eingestzt und den Vektor [mm]\vektor{-6 \\ -3 \\ 9}[/mm]
> herausbekommen.
>
> Ist das jetzt mein Lotfußpunkt?
>
Die Vorgehensweise stimmt, allerdings kommt mit dem anderen Richtungsvektor natürlich auch am Ende ein anderer Lotfußpunkt raus.
Und vorsicht: Das [mm] \lambda [/mm] in der Geradengleichung ist ein anderes als das in der Ebenengleichung. Verwende in der Geradengleichung am besten eine andere, noch nicht benutzte Variable.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok hab den Richtungsvektor nun mittels Kreuzprodukt ausgerechnet.
Aber ich muss doch jetzt die Gleichung
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{6 \\ 5 \\ -3}+\lambda*\vektor{4 \\ 0 \\ -4} [/mm]
erstmal nach [mm] \lambda [/mm] auflösen und dann einsetzen um den Lotfußpunkt [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] zu erhalten oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Tut mir Leid, aber Dein Richtungsvektor steht immer noch nicht senkrecht auf der Ebene. Wahrscheinlich hast Du Dich beim Kreuzprodukt verrechnet.
Probier's mal mit dem Vektor (4,2,-4).
Verwende diesen als Richtungsvektor für Deine Gerade.
Die weitere Vorgehensweise ist dann
1) Gerade und Ebene gleichsetzen (Vorsicht mit den Variablenbezeichnungen, siehe andere Antwort)
2) Variablen ausrechnen
3) Variablen in Ebenen- oder in Geradengleichung einsetzen, um den Lotfußpunkt zu erhalten.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Sry hab mich nur verschrieben.
Habe auch den Richtungsvektor raus.
Ich habe dann jetzt folgenden Lotfußpunkt berechnet:
[mm] \vektor{4 \\ 4 \\ -1}
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
scheint zu stimmen, den habe ich auch raus 
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok dann vielen Dank nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Du kannst diese Gleichung gar nicht nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, ohne dass [mm] \lambda [/mm] von x,y,z abhängt.
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