lokaler Diffeomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:09 Do 27.10.2016 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | | Zeige: Die Abbildung f: [mm] \IR^{2} \rightarrow [/mm] M mit f(u,v) = ( [mm] (R+r*cos(2*\pi*u))*cos(2*\pi*v), (R+r*cos(2*\pi*u))*sin(2*\pi*v), r*sin(2*\pi*u) [/mm] ) mit M:= {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] (\wurzel(x^{2}+y^{2})-R)^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] } und 0<r<R ist ein lokaler Diffeomorphismus. |
Hallo zusammen,
eine kurze (und vermutlich einfache) Frage zu dieser Aufgabe:
In Teil a) wurde bereis gezeigt, dass M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
Nun haben wir folgende Version des Umkehrsatzes, den ich gerne anwenden würde:
"Sei f: M [mm] \rightarrow [/mm] N eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension n. Sei p [mm] \in [/mm] M ein Punkt mit [mm] rg_{p}(f) [/mm] = n. Dann existiert eine Umgebung von p, auf der f ein Diffeomorphismus ist."
f: M [mm] \rightarrow [/mm] N soll hier eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten (!) sein. Wir hatten eine differenzierbare Mannigfaltigkeit definiert als eine topologische Mannigfaltigkeit mit einem maximalen Atlas, d.h. die Differenzierbarkeit von f ist eigentlich über die Karten von [mm] \IR^{2} [/mm] und M gegeben (bei Bedarf präzisiere ich das gerne, aber ich denke, es ist klar, wie ich es meine). Jetzt ist ja aber f aufgefasst als Abbildung von [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR^{3} [/mm] im herkömmlichen Sinne der Analysis differenzierbar und natürlich M [mm] \subset \IR^{3}. [/mm] Muss man dann trotzdem noch für die Differenzierbarkeit der Abbildung f mit den Karten von [mm] \IR^{2} [/mm] und M rechnen, oder reicht das dann schon zu sagen, dass diese Abbildung im "herkömmlichen" Sinne differenzierbar ist und damit auch als Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten?
Vielen Dank und liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 29.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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