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Hallo. Ich habe leider mal wieder ein kleines Problem. Und zwar geht es um die Fkt.:
[mm] f(x)=x^3\*e^x.
[/mm]
Ich soll nun lokale und globale Extrema finden. zunächst hätte ich nun nach den lokalen Extrema gesucht. Das hätte ich wie folgt gemacht:
Es gilt, dass wenn f'(x)=0 und f''(x)<0, so haben wir ein lokales Maximum.
Es gilt, dass wenn f'(x)=0 und f''(x)>0, so haben wir ein lokales Minimum.
Das würde bedeuten, ich müsste zunächst die 1. Ableitung bilden:
[mm] f'(x)=3x^2\*e^x+x^3\*e^x.
[/mm]
Hier würde ich jetzt sagen, dass man eigentlich auf den ersten Blick sieht, dass diese Fkt. nur bei x=0 eine Nullstelle haben kann. Also müsste ich nun die 2. Ableitung bilden:
[mm] f''(x)=6x\*e^x+3x^2\*e^x+3x^2\*e^x+x^3\*e^x
[/mm]
Wenn ich jetzt aber die x=0 in die 2. Ableitung einsetze, dann erhalte ich ja wieder 0 und das führt mich ja eigrntlich zu keinem lokalen Extrema. Wenn ich aber ein bischen Schummel und diese Funktion in einem Plotter eingebe, so spuckt er mir als Nullstelle ca. -3 aus. Was mache ich also falsch???
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> Hallo. Ich habe leider mal wieder ein kleines Problem. Und
> zwar geht es um die Fkt.:
> [mm]f(x)=x^3\*e^x.[/mm]
> Ich soll nun lokale und globale Extrema finden.
Hallo,
bei der Fragestellung, die Du angibst, ist es ziemlich wichtig zu wissen, in welchem Bereich Du die Funktion betrachten sollst. Auf ganz [mm] \IR? [/mm] Oder hast Du ein Intervall gegeben?
> zunächst
> hätte ich nun nach den lokalen Extrema gesucht. Das hätte
> ich wie folgt gemacht:
> Es gilt, dass wenn f'(x)=0 und f''(x)<0, so haben wir ein
> lokales Maximum.
> Es gilt, dass wenn f'(x)=0 und f''(x)>0, so haben wir ein
> lokales Minimum.
> Das würde bedeuten, ich müsste zunächst die 1. Ableitung
> bilden:
> [mm]f'(x)=3x^2\*e^x+x^3\*e^x.[/mm]
> Hier würde ich jetzt sagen, dass man eigentlich auf den
> ersten Blick sieht, dass diese Fkt. nur bei x=0 eine
> Nullstelle haben kann.
Ob man etwas auf den ersten Blick sieht, hängt davon ab, wie gut man gucken kann, und oft wächst wahre Schönheit im Verborgenen...
Kurz gucken reicht nicht. Du kannst bei f' ja [mm] x^2e^x [/mm] ausklammern.
Was steht dann da? Damit dürfte sich Dein Problem gelöst haben.
Gruß v. Angela
Also müsste ich nun die 2. Ableitung
> bilden:
> [mm]f''(x)=6x\*e^x+3x^2\*e^x+3x^2\*e^x+x^3\*e^x[/mm]
> Wenn ich jetzt aber die x=0 in die 2. Ableitung einsetze,
> dann erhalte ich ja wieder 0 und das führt mich ja
> eigrntlich zu keinem lokalen Extrema. Wenn ich aber ein
> bischen Schummel und diese Funktion in einem Plotter
> eingebe, so spuckt er mir als Nullstelle ca. -3 aus. Was
> mache ich also falsch???
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Oh Sorry ja ntürlich von [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
stimmt hast recht. Nicht aufgefallen. Also wenn ich das ausklammer erhalte ich:
[mm] f'(x)=x^2\*e^x(3+x).
[/mm]
Also erhalte ich als Nullstellen [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=-3.
[/mm]
Jetzt zur zweiten Ableitung f''(x). Mein Problem ist nun die Ableitung davon. Ich hätte das jetzt so gemacht, dass ich wieder aus meinem ausmultiplizierten Term davon die Ableitung bilde was mich auf
[mm] f''(x)=6x\*e^x+6x^2\*e^x+x^3\*e^x
[/mm]
bringen würde. Die Frage ist nur, ob mich das in ähnlliche Schwierigkeiten wie bei der 1. Ableitung bringen könnte wenn ich das ganze nicht aus dem ausgeklammerten Term ableite. Aber ich denke mal nicht oder?
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Hallo!
> Oh Sorry ja ntürlich von [mm]\IR \to \IR.[/mm]
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> stimmt hast recht. Nicht aufgefallen. Also wenn ich das
> ausklammer erhalte ich:
> [mm]f'(x)=x^2\*e^x(3+x).[/mm]
> Also erhalte ich als Nullstellen [mm]x_1=2[/mm] und [mm]x_2=-3.[/mm]
Nein das ist leider nicht korrekt. ich bekomme andere Nullstellen heraus.
> Jetzt zur zweiten Ableitung f''(x). Mein Problem ist nun
> die Ableitung davon. Ich hätte das jetzt so gemacht, dass
> ich wieder aus meinem ausmultiplizierten Term davon die
> Ableitung bilde was mich auf
> [mm]f''(x)=6x\*e^x+6x^2\*e^x+x^3\*e^x[/mm]
> bringen würde.
Ja die Baleitung ist korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Frage ist nur, ob mich das in ähnlliche
> Schwierigkeiten wie bei der 1. Ableitung bringen könnte
> wenn ich das ganze nicht aus dem ausgeklammerten Term
> ableite. Aber ich denke mal nicht oder?
Allgemein könnte dich das schon "Schwierigkeiten" bringen damit will ich sagen dass es natürlich viel einfacher ist alles was geht auszuklammern. Nun aber da es sich um die 2 ableitung handelt ist es nicht so wichtig auszuklammern denn da musst du ja nichts ausrechnen nur einsetzten :) also ist es ok das so stehen zu lassen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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ja hab mich verschrieben ist [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=-3.
[/mm]
Danke erstmal für die Antwort. Allerdings habe ich nun leider eine Fkt, deren Grenzwert wir nach L'hospital berechnen sollen.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(1+x)-x}{x^2}
[/mm]
Es wäre jetzt natürlich schön, wenn ich den Zähler direkt aus der Klammer heraus ableiten könnte. Was mir Schwierigkeiten bereitet sind nicht die Ableitungsregeln, sondern in diesem Fall viel mehr die Schreibweise.
Könnte ich sowas wie ln(x+1)-x überhaupt nach der Kettenregel ableiten oder wie müsste ich hier jetzt ran?
Denn für die Ableitung der Funktion [mm] x^2e^x\*(3+x) [/mm] hat die Kettenregel meiner Meinung nach nu misst ergeben. Aber nach welchen Regeln kann ich sowas dann anwenden? Produktregel?
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Also gut. Kettenrgel ist ja innere mal äußere Ableitung. Jetzt nehmen wir mal die zwei die ich ebend genannt habe:
[mm] f(x)=x^2\*e^x(3+x)
[/mm]
und
g(x)=ln(1+x)-x
zunächst zu f(x).
Als Innere haben wir (3+x)
Als äußere haben wir [mm] x^2\*e^x
[/mm]
Innere abgeleitet: 1
Äußere abgeleitet: [mm] 2x\*e^x+x^2\*e^x(3+x)
[/mm]
Und jetzt rechne ich innere mal äußere: [mm] 2x\*e^x+x^2\*e^x\*(3+x)\*(1)
[/mm]
Das ergibt bei mir aber nur [mm] 6x\*e^x+5x^2\*e^x+x^3\*e^x
[/mm]
nun zu g(x).
Als innere haben wir (1+x)
Als äußere haben wir ln(1+x)-x
Innere abgeleitet: 1
Äußere abgeleitet: [mm] \bruch{1}{x}\*(1+x)-1
[/mm]
Und jetzt rechne ich innere mal äußere: [mm] 1\*(\bruch{1}{x}\*(1+x)-1)
[/mm]
Und das sieht auch ein bischen komisch aus!!!
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Hallo!
Nun die Kettenregel lautet f´(x)=u´(v(x))*v´(x)
Die wendest du natürlich nicht bei der funktion f an sondern nimmst die produktregel die lautet f´(x)=u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x)
WIe haben: [mm] f(x)=x²e^{x}(3+x)
[/mm]
[mm] u(x)=x²e^{x}
[/mm]
[mm] u´(x)=x²e^{x}+2xe^{x}
[/mm]
v(x)=3+x
v´(x)=1
Die Lösung habe ich dir gegeben es ist: [mm] xe^{x}*(x²+6x+6)
[/mm]
und jetzt nach der produktregel wie oben zusammenfassen.
Nun zu g(x)=ln(1+x)-x
Hier kommt die Kettenregel zum einsatz
u(x)=ln(x)
[mm] u´(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
v(x)=1+x
v´(x)=1
Nach kettenregel ergibt das dann: [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
Zusammengefasst ergibt das dann [mm] g´(x)=\bruch{1}{1+x}-1=\bruch{x}{x+1}
[/mm]
Schaue dir nochmal alle ableitungsregeln an und überlege dir funktionen die du dann ableitest zum trainieren 
Gruß
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