lokale extremwerte von funktionen f:R³->R < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Neral |
hi in der runde,
kann mir jemand das kriterium zu "lokale extremwerte von funktionen f:R³->R" nennen ? oder irgendwelche beispiel aufgaben dazu geben ?! egal ob mit oder ohne loesung.
gruss neral
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 27.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Neral
ich weiß leider nicht genau, aif was du hinaus willst?!
z.b. für stetig differenzierbare funktionen [m] f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} [/m] ist eine notwendige bedingung für eine lokales extremum in [mm] $x_0$, [/mm] dass
[m] \nabla f = \left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_3} \end{array} \right) [/m] ausgewertet an der stelle [mm] $x_0$ [/mm] der nullvektor ist.
z.b. [m] f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}; \; x \longmapsto x_1^2 x_2^2 x_3^2 [/m].
durch
[m] \nabla f = \left( \begin{array}{c} 2x_1 x_2^2 x_3^2 \\ 2 x_1^2 x_2 x_3^2 \\ 2x_1^2 x_2^2 x_3 \end{array} \right) \stackrel{!}{=} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) [/m] erhälst du 3 gleichungen und daraus alle möglichen punkte, an denen lokale extrema liegen können!
frage am besten konkreter nach, wenn du mit den ausführungen nichts anfagen kannst.
grüße
andreas
ps ähnlich wie im eindimensionalen gibt es auch bei solchen funktionen hinreichende bedingungen für lokale extrema mit der 2ten ableitung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Neral |
uii super danke euch beiden ich denke es geht schon in die richtige richtung!!
also ich werde mal ueber das wochenende diesen kurs machen!
also wie komme ich aber vom kriterium vom R²->R auf das zum R³->R also ich kann man das davon ableiten/herleiten.
danke nochmal!!
gruss
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Hallo Neral,
Die Bedingungen sind eigentlich die gleichen.
notwendige Bedingung:
grad(f)=0
Hinreichende Bedingung:
Die Eigenwerte der Hesse Matrix sind alle:
1. <0 -> Maximum
2. >0 -> Minimum
vom R²-R kann man diese Bedingungen natürlich einfacher überprüfen.
gruß
mathemaduenn
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