lokale Änderungsrate bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Trinkglas hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit Grundkreisradius R und Höhe H. Sei h die Höhe des eingefüllten Getränkes.
Bestimmen Sie für die Volumenfunktion V: h ->V(h) die lokale Änderungsrate an der Stelle h0 sowohl durch formales Ableiten wie durch Bildung des Differentialquotienten |
Hallo,
mein Bruder kam eben zu mir und wollte diese Aufgabe mit mir besprechen. Wenn ich das richtig sehe, kann ich V(h) = 1/3 [mm] \pi r^2 [/mm] h angeben und r mit Hilfe der Strahlensätze in r= (h*R)/H umformen, so dass ich erhalte:
V(h) = 1/3 [mm] \pi ((h*R)/H)^2 [/mm] h
Das kann ich ja schließlich ableiten, so dass ich:
V'(h) = [mm] \pi ((h*R)/H)^2 [/mm] = [mm] \pi r^2 [/mm] bekomme.
Aber wie sieht das denn mit dem Differentialquotienten aus. Wenn ich mit der h-Methode, also:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (f(h+x)-f(h))/x
argumentiere, komme ich auf ein falsches, bzw. anderes Ergebnis.
Wäre schön, wenn mir da jemand helfen könnte.
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
alles was Du geschrieben hast stimmt.
> V'(h) = [mm]\pi ((h*R)/H)^2[/mm] = [mm]\pi r^2[/mm] bekomme.
Laß lieber [mm] $\pi \frac{R^2}{H^2} h^2$ [/mm] stehen. Du willst ja alles in Abhängigkeit von h.
> Aber wie sieht das denn mit dem Differentialquotienten aus.
> Wenn ich mit der h-Methode, also:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] (f(h+x)-f(h))/x
> argumentiere, komme ich auf ein falsches, bzw. anderes
> Ergebnis.
Es wäre nett, wenn Du geschrieben hättest, was Du rechnest. Der Ansatz stimmt, aber wo Du Dich verrechnest, kann ich Dir so auch nicht sagen.
Nachdem Du f eingesetzt hast, sollte da stehen
[mm] $\frac\pi [/mm] 3 [mm] \left(\frac RH\right)^2\lim_{x\to 0} \frac{(h+x)^3-h^3}{x}$
[/mm]
da mußt Du nur noch ausmultiplizieren.
ciao
Stefan
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