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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Do 31.08.2006 | | Autor: | jerry |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima der Funktion [mm] f:\IR^3\to\IR, [/mm] f(x,y,z):=x+y+z unter den Nebenbedingungen [mm] x^2+3y^2-1=0, [/mm] x+z-2=0. |
Einen schönen guten Morgen wünsche ich Euch allen.
Es wäre sehr nett wenn sich mal jemand meinen bisherigen lösungsweg kontrollieren könnte.
also ich hab versucht das ganze mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren zu lösen.
zunächst das gegebene:
f(x,y,z):=x+y+z
[mm] g_1(x,y,z)=x^2+3y^2-1
[/mm]
[mm] g_2(x,y,z)=x+z-2
[/mm]
nun die Hilfsfunktion aufstellen:
[mm] F(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=f(x,y,z) [/mm] + [mm] \lambda_1g_1 [/mm] + [mm] \lambda_2g_2
[/mm]
[mm] =x+y+z+\lambda_1x^2+3\lambda_1y^2-\lambda_1+\lambda_2x+\lambda_2z-2\lambda_2
[/mm]
nun die partiellen Ableitungen gleich 0 setzen:
[mm] F_x=1+2x\lambda_1+\lambda_2=0
[/mm]
[mm] F_y=1+6\lambda_1y=0
[/mm]
[mm] F_z=1+\lambda_2=0
[/mm]
[mm] F_{\lambda_1}=x^2+3y^2-1=0
[/mm]
[mm] F_{\lambda_2}=x+z-2=0
[/mm]
das ganze nun lösen. ich erspar mir jetzt mal den genauen lösungsweg. falls es nicht stimmt poste ich in später noch.
auf jeden fall hab ich als mögliche punkte raus:
[mm] \vektor{\sqrt{\bruch{3}{4}} \\ \sqrt{\bruch{1}{12}} \\ -\sqrt{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
[mm] \vektor{\sqrt{\bruch{3}{4}} \\ -\sqrt{\bruch{1}{12}} \\ -\sqrt{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
[mm] \vektor{-\sqrt{\bruch{3}{4}} \\ \sqrt{\bruch{1}{12}} \\ \sqrt{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
[mm] \vektor{-\sqrt{\bruch{3}{4}} \\ -\sqrt{\bruch{1}{12}} \\ \sqrt{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
ich hoffe mein vorgehen und auch die ergebnisse stimmen bis daher.
wie kann ich jetzt feststellen ob es sich um ein maximum oder minimum handelt?
oder vielleicht keins von beiden?
wär dankbar, wenn ihr mir hier weiterhelfen könntet.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Gruß Benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Do 31.08.2006 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Ich glaub du hast dich da ein bisschen verrechnet mach mal die Probe indem du einen Punkt in z.B die Nebenbedingungen einsetzt
mir kommen als mögliche Extrema
[mm] \vektor{0\\ \pm\wurzel{\bruch{1}{3}}\\2}
[/mm]
lg Stevo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 31.08.2006 | | Autor: | jerry |
hallo stevo,
vielen dank für deine fixe korrektur.
meine ergebnisse erweisen sich bei der probe natürlich als falsch.
aber ich kann keinen direkten rechenfehler finden.
deinen lösungsweg konnte ich auch nachvollziehn, aber hab ihn dennoch noch nicht ganz verstanden.
man hat die gleichung:
[mm] 2\lambda_1x+\lambda_2=-1
[/mm]
und
[mm] \lambda_2=-1
[/mm]
daraus folgt: [mm] 2\lambda_1x=0.
[/mm]
wieso folgerst du daraus das x=0 sein muss?
ist [mm] \lambda\not=0?
[/mm]
dann wäre es klar, aber wenn lambda 0 sein könnte, wäre ja wieder x beliebig?!
und wie bestimme ich nun ob es ein maximum oder minimum jeweils ist?
Gruß Benjamin
PS: ich stell nun doch mal meinen bisherigen lösungsweg rein, vlt erkennt jemand den fehler?
also die gleichungen (1-5) stehn ja noch oben.
a) aus (3) folgt: [mm] \lambda_2=-1
[/mm]
b) dann folgt aus (1): [mm] \lambda_1=\bruch{1}{2x}
[/mm]
c) dieses dann in (2): [mm] y=-\bruch{1}{3}x
[/mm]
d) gl. aus c) nun in (4): [mm] x^2+\bruch{1}{3}x^2=1 \Rightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{\bruch{3}{4}}
[/mm]
nun hab ich x, aber da dies ja schon nicht stimmt muss hier bereits irgendein rechen oder vorgehensfehler vorliegen.
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Hallo
> hallo stevo,
>
> vielen dank für deine fixe korrektur.
>
> meine ergebnisse erweisen sich bei der probe natürlich als
> falsch.
> aber ich kann keinen direkten rechenfehler finden.
>
> deinen lösungsweg konnte ich auch nachvollziehn, aber hab
> ihn dennoch noch nicht ganz verstanden.
> man hat die gleichung:
> [mm]2\lambda_1x+\lambda_2=-1[/mm]
> und
> [mm]\lambda_2=-1[/mm]
>
> daraus folgt: [mm]2\lambda_1x=0.[/mm]
> wieso folgerst du daraus das x=0 sein muss?
Wenn [mm] \lambda=0 [/mm] wäre wäre das ja die triviale Lösung diese sucht man aber nicht und daher muss x=0 sein
> ist [mm]\lambda\not=0?[/mm]
> dann wäre es klar, aber wenn lambda 0 sein könnte, wäre ja
> wieder x beliebig?!
>
>und wie bestimme ich nun ob es ein maximum oder minimum
>jeweils ist?
Das hätte ich so gelöst indem ich die Punkte in die Funktion f(x,y,z) einsetzt
das ergibt dann für [mm] f(0,\wurzel{\bruch{1}{3}},2)=2.577... \to [/mm] Maximum und für [mm] f(0,-\wurzel{\bruch{1}{3}},2)=1.422...\to [/mm] Minimum bin mir hier aber nicht 100%tig sicher ob das so stimmt
lg Stevo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 31.08.2006 | | Autor: | jerry |
vielen dank. das hab ich nun verstanden.
klitzekleine frage noch =)
ist jeder dieser punkte automatisch ein extrempunkt?
oder kann da auch ein "falscher" punkt also kein extrempunkt herauskommen?
weil es heißt ja mögliche bzw. kritische punkte.
sattel-oder wendepunkte kann man daraus wahrscheinlich nicht ablesen oder?
gruß benjamin
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Hallo
Nein es muss nicht jeder Punkt ein Extremum sein.
Wenn du für die Funktionswerte zB -3 ,1 und 4 bekommst dann ist 1 kein MAX aber auch kein MIN alse kein Extremum
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Do 31.08.2006 | | Autor: | jerry |
werd ich wohl noch durch einige übungsaufgaben vertiefen müssen, aber das prinzip hab ich jetzt kapiert.
vielen dank für deine mühe.
gruß benjamin
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