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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] auf lokale Extrema (d.h. Minima, Maxima und Sattelpunkte):
[mm] f(x,y)=(1+e^y)cos(x)-ye^y [/mm] |
Hallo,
leider komme ich hier überhaupt nicht voran und ich hoffe ihr könnt mir hierbei helfen.
Ich habe bis jetzt den Gradienten bestimmt und zwar wie folgt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial*x}=((1+e^y)cos(x)-ye^y)=-(e^y+1)sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial*y}=((1+e^y)cos(x)-ye^y)=e^y(cos(x)-y-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow grad(f)=\vektor{-(e^y+1)sin(x) \\ e^y(cos(x)-y-1)}
[/mm]
Dummerweise scheitere ich leider schon daran die Nullstellen hierzu zu finden. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir hierbei helfen könnt.
Lieben Gruß
Katti1712
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:48 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] auf
> lokale Extrema (d.h. Minima, Maxima und Sattelpunkte):
>
> [mm]f(x,y)=(1+e^y)cos(x)-ye^y[/mm]
> Hallo,
>
> leider komme ich hier überhaupt nicht voran und ich hoffe
> ihr könnt mir hierbei helfen.
>
> Ich habe bis jetzt den Gradienten bestimmt und zwar wie
> folgt:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*x}=((1+e^y)cos(x)-ye^y)=-(e^y+1)sin(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*y}=((1+e^y)cos(x)-ye^y)=e^y(cos(x)-y-1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow grad(f)=\vektor{-(e^y+1)sin(x) \\ e^y(cos(x)-y-1)}[/mm]
>
> Dummerweise scheitere ich leider schon daran die
> Nullstellen hierzu zu finden. Ich wäre euch sehr dankbar,
> wenn ihr mir hierbei helfen könnt.
[mm] $(e^y+1)sin(x)=0 \gdw [/mm] sin(x)=0$
Was sind die Nullstellen des Sinus ?
FRED
>
> Lieben Gruß
>
> Katti1712
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Hallo Fred,
erst ein Mal vielen Dank für deine Hilfe!
Naja die Nullstellen des Sinus sind [mm] \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi [/mm] ...
Aber ich weiß jetzt leider trotzdem nicht wie es weiter geht. Zum einen brauche ich noch die Nullstellen der anderen Funktion.
Und wie bestimme ich die Hesse-Matzien, wenn ich unendlich viele Nullstellen habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erst ein Mal vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Naja die Nullstellen des Sinus sind [mm]\pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi[/mm]
Na, na, das sind aber nicht alle !
Es sind die Punkte $k [mm] \pi$ [/mm] mit $ k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Ist nun $ k [mm] \in \IZ$, [/mm] so suchen wir noch [mm] y_k [/mm] so, dass [mm] f_y(k \pi,y_k)=0 [/mm] ist, also
[mm] y_k=(-1)^k-1.
[/mm]
Das liefert die stationären Stellen
(*) $ (2k [mm] \pi,0)$ [/mm] und $((2k+1) [mm] \pi,-2)$ [/mm] ($ k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
> ...
>
> Aber ich weiß jetzt leider trotzdem nicht wie es weiter
> geht. Zum einen brauche ich noch die Nullstellen der
> anderen Funktion.
>
> Und wie bestimme ich die Hesse-Matzien, wenn ich unendlich
> viele Nullstellen habe?
Setze die Punkt aus (*) in die Hessematrix ein .....
FRED
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[mm] H_f(x,y) [/mm] sieht bei mir so aus:
[mm] \pmat{ -(e^y+1)cos(x) & -e^y*sin(x) \\ -e^y*sin(x) & e^y(cos(x)-y-2-sin(x)) }
[/mm]
[mm] \Rightarrow H_f(2k\pi,0)=\pmat{ -2cos(2k\pi) & -sin(sk\pi) \\ -sin(2k\pi) & -sin(2k\pi)+cos(2k\pi)-2 }
[/mm]
und [mm] H_f((2k+1)\pi,-2)=\pmat{ -(e^-^2+1)*cos(2k+1)\pi & -e^-^2*sin(2k+1)\pi \\ -e^-^2*sin(2k+1)\pi & e^-^2(cos((2k+1)\pi)-sin((2k+1)\pi)) }
[/mm]
Also wenn das so stimmen sollte, hätte ich jetzt leider keine Ahnung wie ich hiervon die Eigenwerte bestimmen soll.
Ich habe leider Probleme damit umzugehen, wenn etwas sehr allgemein gehalten ist. Ich hoffe du kannst mir weiterhin helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]H_f(x,y)[/mm] sieht bei mir so aus:
>
> [mm]\pmat{ -(e^y+1)cos(x) & -e^y*sin(x) \\ -e^y*sin(x) & e^y(cos(x)-y-2-sin(x)) }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow H_f(2k\pi,0)=\pmat{ -2cos(2k\pi) & -sin(sk\pi) \\ -sin(2k\pi) & -sin(2k\pi)+cos(2k\pi)-2 }[/mm]
>
> und [mm]H_f((2k+1)\pi,-2)=\pmat{ -(e^-^2+1)*cos(2k+1)\pi & -e^-^2*sin(2k+1)\pi \\ -e^-^2*sin(2k+1)\pi & e^-^2(cos((2k+1)\pi)-sin((2k+1)\pi)) }[/mm]
>
> Also wenn das so stimmen sollte, hätte ich jetzt leider
> keine Ahnung wie ich hiervon die Eigenwerte bestimmen soll.
> Ich habe leider Probleme damit umzugehen, wenn etwas sehr
> allgemein gehalten ist. Ich hoffe du kannst mir weiterhin
> helfen.
Schon im 1. Semester sollte man gelernt haben:
[mm] $sin((2k+1)\pi))= [/mm] ? , [mm] cos((2k+1)\pi)= [/mm] ? , sin(2k [mm] \pi)= [/mm] ? ,cos(2k [mm] \pi)= [/mm] ?$
FRED
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Bevor ich weiter mache würde ich gerne noch Mal wissen, ob es denn jetzt stimmt was ich geamacht habe :)
Also sieht das jetzt so aus:
[mm] H_f(2k\pi,0) [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -1}
[/mm]
und [mm] H_f((2k+1)\pi,-2) [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{e^2}-1 & 0 \\ 0 & -\bruch{3}{e^2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mi 16.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bevor ich weiter mache würde ich gerne noch Mal wissen, ob
> es denn jetzt stimmt was ich geamacht habe :)
>
> Also sieht das jetzt so aus:
>
> [mm]H_f(2k\pi,0)[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
Das stimmt.
>
> und [mm]H_f((2k+1)\pi,-2)[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{e^2}-1 & 0 \\ 0 & -\bruch{3}{e^2}}[/mm]
Das stimmt nicht.
FRED
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