matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer Veränderlichenlokale Extrema
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - lokale Extrema
lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lokale Extrema: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Fr 06.05.2016
Autor: studiseb

Aufgabe
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion [mm] f:R^2 \to [/mm] R mit [mm] f(x,y)=(x^2+4y^2)*e^{(-4x^2-y^2)} [/mm]

Guten Morgen zusammen, das Prinzip zur Berechnung von lokalen Extrema hab ich ich durchaus verstanden, ich hänge nur bei der eigentlichen Berechnung, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. DANKE!

notwendige Bedingung: grad f = 0
da für die partiellen Ableitungen gilt:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2) [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3) [/mm]

muss also gelten, dass
[mm] e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)=0 [/mm]
[mm] e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)=0 [/mm]

okay, [mm] e^{-4x^2-y^2} \not= [/mm] 0 ist klar, also muss ich nur noch folgendes Gleichungssystem lösen:

[mm] (2x-8x^3-32xy^2)=0 [/mm]
[mm] (8y-2x^2y-8y^3)=0 [/mm]

Dass (0,0) eine Lösung ist, liegt auf der Hand, aber gibt es noch weitere? Und wenn ja wie kann ich diese berechnen?

um das hinreichende Kriterium zu prüfen muss ich dann nur noch meine möglichen Extrema in die Hesse-Matrix einsetzen und gucken ob diese positiv, negativ oder indefinit ist.

Grüße Seb



        
Bezug
lokale Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Fr 06.05.2016
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion [mm]f:R^2 \to[/mm] R
> mit [mm]f(x,y)=(x^2+4y^2)*e^{(-4x^2-y^2)}[/mm]
>  Guten Morgen zusammen, das Prinzip zur Berechnung von
> lokalen Extrema hab ich ich durchaus verstanden, ich hänge
> nur bei der eigentlichen Berechnung, vielleicht kann mir da
> jemand weiterhelfen. DANKE!
>  
> notwendige Bedingung: grad f = 0
>  da für die partiellen Ableitungen gilt:
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)[/mm]
>  
> muss also gelten, dass
>  [mm]e^{-4x^2-y^2}(2x-8x^3-32xy^2)=0[/mm]
>  [mm]e^{-4x^2-y^2}(8y-2x^2y-8y^3)=0[/mm]
>  
> okay, [mm]e^{-4x^2-y^2} \not=[/mm] 0 ist klar, also muss ich nur
> noch folgendes Gleichungssystem lösen:
>  

Hallo,

> [mm](2x-8x^3-32xy^2)=0[/mm]

<==> [mm] -2x*(4x^2+16y^2-1)=0 [/mm]

==>

A. x=0  
oder  
B. [mm] 4x^2=1-16y^2 [/mm]  <==> [mm] x^2=0.25-4y^2 [/mm]

Einsetzen:

>  [mm](8y-2x^2y-8y^3)=0[/mm]

Fall A (x=0):  

[mm] 8y-8y^3=0 [/mm] <==> [mm] 8y(1-y^2)=0 [/mm]

==> y=0 oder y=1 oder y=-1

Also bekommt man die kritischen Punkte (0|0), (0|1), (0|-1).


Fall B [mm] (x^2=0.25-4y^2): [/mm]

[mm] 8y-(0.5-8y^2)y-8y^3=0 [/mm]
<==>
7.5y=0
<==> y=0

Einsetzen und zugehöriges x ausrechnen: [mm] x^2=0.25, [/mm] also [mm] x=\pm [/mm] 0.5,
kritische Punkte (0.5|0), (-0.5|0).

Jetzt die kritischen Punkte untersuchen.

LG Angela


>  
> Dass (0,0) eine Lösung ist, liegt auf der Hand, aber gibt
> es noch weitere? Und wenn ja wie kann ich diese berechnen?


>  
> um das hinreichende Kriterium zu prüfen muss ich dann nur
> noch meine möglichen Extrema in die Hesse-Matrix einsetzen
> und gucken ob diese positiv, negativ oder indefinit ist.
>
> Grüße Seb
>  
>  


Bezug
                
Bezug
lokale Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:15 Fr 06.05.2016
Autor: studiseb

Super! Vielen lieben Dank! Jetzt läufts durch!

Ein schönes Wochenende

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]