lösung eines linearen gls. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:51 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | gegeben sei das lineare gleichungssystem:
[mm] x_{1}+x_{2}+k*x_{3}=2
[/mm]
[mm] 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=k
[/mm]
[mm] 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=1
[/mm]
[mm] 2x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=2k-2
[/mm]
a) stellen sie mit hilfe der methode der rangbestimmung fest, für welche reellen werte von k das system eine eindeutige lösung bzw. unendlich viele lösungen besitzt.
b) berechnen sie mit hilfe der vollständigen ellimination für die in teil a) ermittelten wertevon k die zugehörigen lösungen. |
hallo zusammen...
bei dieser aufgabe handelt es sich um eine alte klausuraufgabe...
ich habe jetzt für a) und den ersten teil von b) ne lösung die aber von der musterlösung abweicht...
ich finde allerdings meinen fehler nicht...
a) 1. schritt: die rangbestimmung
m=4 gleichungen für n=3 unbekannte --> rg [mm] \underline{A} \le [/mm] Min(4,3) --> rg [mm] \underline{A} \le [/mm] 3
[mm] \vmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} & | & b_{i} & rechenoperationen\\
1 & 1 & 1k & | & 2 \\
3 & 4 & 2k & | & k & (z_{2}-3z_{1}\\
2 & 3 & -1 & | & 1 & z_{3}-2z_{1}\\
2 & 2 & 6 & | & 2k-2 & z{4}-2z_{1}\\
- & - & - & | & - \\
1 & 1 & 1k & | & 2 \\
0 & 1 & 2-3k & | & k-6 \\
0 & 1 & -1-2k & | & -3 & z_{3}-z_{2} \\
0 & 0 & 6-2k & | & 2k-6 \\
- & - & - & | & - \\
1 & 1 & 1k & | & 2 \\
0 & 1 & 2-3k & | & k-6 \\
0 & 0 & -3+k & | & 3-k \\
0 & 0 & 6-2k & | & 2k-6 & z_{4}+2z_{3}\\
- & - & - & | & - \\
1 & 1 & 1k & | & 2 \\
0 & 1 & 2-3k & | & k-6 \\
0 & 0 & -3+k & | & 3-k \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\ }
[/mm]
--> [mm] rg(\underline{A}, \overrightarrow{B})=3
[/mm]
2. schritt: berechnung der übriggebliebenen 3x3 determinante nach sarrus --> k=3
--> k=3: [mm] rg(\underline{A}, \overrightarrow{B})=2 [/mm] < n --> [mm] \infty [/mm] lösungen
k [mm] \not= [/mm] 3: [mm] rg(\underline{A}, \overrightarrow{B})=3 [/mm] = n --> eine Lösung
b) vollständige ellimination (ab hier habe ich andere ergebnisse als in der musterlösung)
für k=3:
[mm] \vmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} & | & b_{i} & rechenoperationen\\
1 & 1 & 3 & | & 2 \\
3 & 4 & 2 & | & 3 & z_{2}-3z_{1}\\
2 & 3 & -1 & | & 1 & z_{3}-2z_{1}\\
- & - & - & | & - \\
1 & 1 & 3 & | & 2 \\
0 & 1 & -7 & | & -3 \\
0 & 1 & -7 & | & -3 & z_{4}-z_{3}\\
- & - & - & | & - \\
1 & 1 & 3 & | & 2 & z_{1}-z_{2}\\
0 & 1 & -7 & | & -3 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
- & - & - & | & - \\
1 & 0 & 10 & | & 5 \\
0 & 1 & -7 & | & -3 \\}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] t_{1} [/mm] = freie variable
[mm] x_{1} [/mm] & [mm] x_{2} [/mm] = gebundene variablen
[mm] x_{1}=5-10t_{1}
[/mm]
[mm] x_{2}=-3+7t_{1}
[/mm]
[mm] x_{3}=t_{1}
[/mm]
[mm] \vec{x}= \pmat{ 5 \\ -3 \\ 0}+\pmat{ -10 \\ 7 \\ 1}t_{1}
[/mm]
für [mm] k\not=3:
[/mm]
[mm] \vmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} & | & b_{i} & rechenoperationen\\
1 & 1 & k & | & 2 & z_{1}-z_{2}\\
0 & 1 & 2-3k & | & k-6\\
0 & 0 & -3+k & | & 3-k\\
- & - & - & | & - \\
1 & 0 & -2+4k & | & 8-k \\
0 & 1 & 2-3k & | & 6-k \\
0 & 0 & -3+k & | & -3+k\\}
[/mm]
hier komme ich nicht mehr weiter... muß ich hier noch weiter rechnen oder bin ich hier schon fertig und wenn ja wie sehe die lösung aus?
ich weiß es ist viel gerechne und vieleicht auch ein bissel unübersichtlich...
würde mich aber wirklich sehr freuen wenn sich jemand mal die zeit nehmen würde um sich das mal durchzuschauen...
vielen dank auch schon mal im vorraus...
mfg Gwin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 17.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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