lösbarkeit von gleichungssyst. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei ein Körper K und eine Matrix A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n, K). Zeigen Sie: das homogene lineare Gl.syst. Ax=0 hat genau dann eine eind. Lösung x [mm] \in K^{n}, [/mm] wenn rang A=n gilt |
Folgendes wäre mein ansatz:
" [mm] \Rightarrow [/mm] ": eindeutige lsg bedeutet für das homogene system, dass die spalten-und zeilenvektoren lin.unabhängig sind. zur eind. lösung müssen aber mind. so viele gleichungen, also zeilen, wie unbekannte vorhanden sein. da x [mm] \in K^{n} [/mm] => n unbekannte => Anzahl der Zeilen = n und aus zrang=srang=> rang A= n
" [mm] \Leftarrow [/mm] ": rang A=n= dim Zeilenvektoren=dim spaltenvektoren. da dim länge der basis bedeutet, heißt das, dass x [mm] \in K^{n} [/mm] durch das minimale erzeugendensystem der länge n von A erzeugt wird => Ax= 0 hat eind. Lsg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles folgt aus
dim (kernA)+rangA =n
FRED
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