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ln Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 So 09.04.2006
Autor: Multivitaminsaft

Aufgabe
f: y=4lnx -2(lnx)²
Diskutiere die Funktion und zeichne ihren kartesichen Graphen.
  

Ich habe die ersten Ableitungen schon geschafft *freu*
y´= (4-4lnx) /x
y´´=( -8+4lnx) /x²

Ich weiß nur nicht wie ich auf die Nullstellen,Extrema und Wendepunkte kommen soll?

Hiiiilffeeee!  Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ln Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 So 09.04.2006
Autor: prfk

Moin

Also die Bedingung für Nullstellen ist [mm]f(x)=0[/mm] (irgendwie logisch)
Für Extremstellen, muss [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm] f''(x)\not=0 [/mm] sein
Für Wendepunkte[mm] f''(x)=0[/mm] und [mm] f'''(x)\not=0 [/mm]

Nullstellen:

Wir wissen [mm]ln(e)=1 [/mm] und [mm] ln(e^{2}) [/mm] =2.

Damit folgt sofort für die Nullstellen: [mm] X_{n1}=1 [/mm] und [mm] X_{n2}=e^{2}. [/mm]

Extremstellen:

f'(x)=0. Man sieht sofort: ln(x) muss 1 sein. Daraus folgt [mm] X_{Extrem}=e [/mm]

Wendepunkte:

f''(x)=0. Wie bei der Nullstelle mus ln(x)=2 sein.  Daraus folgt [mm] X_{wend}=e^{2} [/mm]

Bezug
        
Bezug
ln Funktionen: weiterer Tipp: Nullstellen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mo 10.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Multivitaminsaft!


Wenn man das nicht "sieht", wie prfk auf seine Lösungen gekommen ist, kann man für die Ermittlung der Nullstellen auch einfach den Term [mm] $2*\ln(x)$ [/mm] ausklammern und das Prinzip des Nullproduktes anwenden:

$0 \ = \ [mm] 4*\ln(x)-2*[\ln(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] 2*\ln(x)*\left[2-\ln(x)\right]$ [/mm]

[mm] $\gdw$ $2*\ln(x) [/mm] \ = \ 0$     oder     [mm] $2-\ln(x) [/mm] \ = \ 0$


Gruß
Loddar


Bezug
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