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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=x*(ln(x^2)-2).
[/mm]
a) Bestimmen sie eine Stammfunktion von f.
b) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen sie dessen Inhalt. |
zu a) Partielle Integration:
u'(x)=x [mm] v(x)=ln(x^2)
[/mm]
[mm] u(x)=0,5x^2 v'(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] 0,5x^2*ln(x^2)- \integral 0,5x^2*\bruch{1}{x^2}
[/mm]
<=> [mm] 0,5x^2*ln(x^2)-0,5x-x2
[/mm]
<=> [mm] 0,5(x^2*ln(x^2)-x-2x^2)
[/mm]
Deckt sich leider nicht mit der Musterlösung. Wo ist der Fehler?
zu b)
0 ist ja Definitionslücke, deshalb muss man da ja mit einem uneigentlichen Integral arbeiten. Wie verfährt man da genau?
Eine der Nullstellen ist N(e/0), welche die obere Grenze des Integrals bildet. Die untere läuft gegen 0, weshalb der Ansatz ja dann Betrag von
F(e)-F(k) (mit k -> 0)
ist. Wie macht man dann weiter?
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x*(ln(x^2)-2).[/mm]
>
> a) Bestimmen sie eine Stammfunktion von f.
>
> b) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im
> 4. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen sie dessen
> Inhalt.
> zu a) Partielle Integration:
>
> u'(x)=x [mm]v(x)=ln(x^2)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
... und was machst du mit dem zusätzlichen Summanden
-2 in der Klammer ?
> [mm]u(x)=0,5x^2\qquad v'(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier fehlt die innere Ableitung (Kettenregel).
Es ginge aber auch ohne Kettenregel, wenn du
eine Logarithmenregel anwendest.
> [mm]0,5x^2*ln(x^2)- \integral 0,5x^2*\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> <=> [mm]0,5x^2*ln(x^2)-0,5x-x2[/mm]
>
> <=> [mm]0,5(x^2*ln(x^2)-x-2x^2)[/mm]
>
> Deckt sich leider nicht mit der Musterlösung. Wo ist der
> Fehler?
>
> zu b)
>
> 0 ist ja Definitionslücke, deshalb muss man da ja mit
> einem uneigentlichen Integral arbeiten. Wie verfährt man
> da genau?
>
> Eine der Nullstellen ist N(e/0), welche die obere Grenze
> des Integrals bildet. Die untere läuft gegen 0, weshalb
> der Ansatz ja dann Betrag von
>
> F(e)-F(k) (mit k -> 0)
>
> ist. Wie macht man dann weiter?
F(0) ist zwar nicht definiert, aber der Grenzwert [mm] \limes_{k\to0}F(k)
[/mm]
existiert. Marquis Guillaume François Antoine de L’Hospital
lässt freundlich grüßen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
> > zu a) Partielle Integration:
> >
> > u'(x)=x [mm]v(x)=ln(x^2)[/mm]
>
> ... und was machst du mit dem zusätzlichen Summanden
> -2 in der Klammer ?
Was soll ich denn deiner Meinung nach damit machen? Mit zu v(x) schrieben oder was?
>
>
> Hier fehlt die innere Ableitung (Kettenregel).
> Es ginge aber auch ohne Kettenregel, wenn du
> eine Logarithmenregel anwendest.
>
Soll dann [mm] ln(x^2) [/mm] abgeleitet [mm] \bruch{1}{x^2}*2*x [/mm] sein?
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> > > zu a) Partielle Integration:
> > >
> > > u'(x)=x [mm]v(x)=ln(x^2)[/mm]
> >
> > ... und was machst du mit dem zusätzlichen Summanden
> > -2 in der Klammer ?
>
> Was soll ich denn deiner Meinung nach damit machen?
Hallo,
auf jeden Fall darf man ihn nicht einfach ignorieren, weil er einem nicht gefällt. Ich hoffe, diesbezüglich herrscht Einigkeit.
> Mit zu
> v(x) schrieben oder was?
Zu probieren, ob man damit weiterkommt, wäre jedenfalls eine sinnvolle Möglichkeit.
Oder Du schreibst $ [mm] f(x)=x\cdot{}(ln(x^2)-2) [/mm] $ als [mm] f(x)=x*ln(x^2)-2X [/mm] und denkst dann über die Stammfunktion nach.
Die Aufgabe wird übrigens etwas einfacher, wenn man sich an die Logarithmusgesetze erinnert, es ist nämlich [mm] ln(x^2)=2*ln(x)
[/mm]
Achso: das hat Dir Al-Chwarizmi ja schon verraten:
> > Hier fehlt die innere Ableitung (Kettenregel).
> > Es ginge aber auch ohne Kettenregel, wenn du
> > eine Logarithmenregel anwendest.
> >
>
> Soll dann [mm]ln(x^2)[/mm] abgeleitet [mm]\bruch{1}{x^2}*2*x[/mm] sein?
Das soll nicht so sein, das ist so.
Und wenn Du nun noch kürzt...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
Demnach wären dann:
u'(x)=x
[mm] v(x)=ln(x^2)-2
[/mm]
[mm] u(x)=0,5x^2 [/mm]
[mm] v'(x)=\bruch{2}{x}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Di 21.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss lediart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
Gut, wenn ich dann weitermach sieht's ja so aus, oder?
[mm] \bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\integral \bruch{1}{2}x^2*\bruch{2}{x}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\integral \bruch{1}{2}x
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\bruch{1}{4}x^2
[/mm]
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Hallo Amicus,
> Gut, wenn ich dann weitermach sieht's ja so aus, oder?
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\integral \bruch{1}{2}x^2*\bruch{2}{x}[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\integral \bruch{1}{2}x[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\integral_{}^{}{\blue{x} \ dx}[/mm]
> <=> [mm]\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-x^2-\bruch{1}{4}x^2[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
Ohja, das war wohl ein Flüchtigkeitsfehler.
Die "fertige" Stammfunktion wäre dann also
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-2-\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Dann folgt noch Aufgabenteil b)
Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im 4.Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen sie dessen Inhalt. Intervall ist von k -> 0 bis e
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Hallo Amicus,
> Ohja, das war wohl ein Flüchtigkeitsfehler.
>
> Die "fertige" Stammfunktion wäre dann also
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}x^2*ln(x^2)-2-\bruch{1}{2}x^2[/mm]
>
Statt der "2" soll doch wohl ein "[mm]x^{2}[/mm]" stehen.
>
> Dann folgt noch Aufgabenteil b)
>
> Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im
> 4.Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen sie dessen
> Inhalt. Intervall ist von k -> 0 bis e #
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 21.02.2012 | | Autor: | Amicus |
>
> zu b)
>
> 0 ist ja Definitionslücke, deshalb muss man da ja mit
> einem uneigentlichen Integral arbeiten. Wie verfährt man
> da genau?
>
> Eine der Nullstellen ist N(e/0), welche die obere Grenze
> des Integrals bildet. Die untere läuft gegen 0, weshalb
> der Ansatz ja dann Betrag von
>
> F(e)-F(k) (mit k -> 0)
>
> ist. Wie macht man dann weiter?
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Hallo Amicus,
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> >
> > zu b)
> >
> > 0 ist ja Definitionslücke, deshalb muss man da ja mit
> > einem uneigentlichen Integral arbeiten. Wie verfährt man
> > da genau?
> >
> > Eine der Nullstellen ist N(e/0), welche die obere Grenze
> > des Integrals bildet. Die untere läuft gegen 0, weshalb
> > der Ansatz ja dann Betrag von
> >
> > F(e)-F(k) (mit k -> 0)
> >
> > ist. Wie macht man dann weiter?
>
Berechne den Grenzwert für [mm]k \to 0[/mm]
Bilde [mm]\limes_{k \to 0}{F(e)-F(k)}[/mm]
Gruss
MathePower
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> > zu b)
> >
> > 0 ist ja Definitionslücke, deshalb muss man da ja mit
> > einem uneigentlichen Integral arbeiten. Wie verfährt man
> > da genau?
> >
> > Eine der Nullstellen ist N(e/0), welche die obere Grenze
> > des Integrals bildet. Die untere läuft gegen 0, weshalb
> > der Ansatz ja dann Betrag von
> >
> > F(e)-F(k) (mit k -> 0)
> >
> > ist. Wie macht man dann weiter?
Das hatte ich doch schon beantwortet !
Al-Chw.
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