lineares Gleichungssystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe das Problem das ich dieses Gleichungssystem (Gaussches Gleichunssytem) leider nicht lösen kann, der Parameter stört mich :)
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte die Lösung rauszubekommen, also mir erklärt wie ich darauf komme! Bitte schildert es mir sehr genau, sonst kann ich es bestimmt nicht nachvollziehen. Danke!
I x + y + z = 3
II 2x - y + 3z =19
III x + 2y + az=-10
die Lösungen habe ich bekommen, sie heißen: x=2 y=-3 z=4 a=-1,5
nur wie komme ich darauf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 10.10.2005 | | Autor: | statler |
Auch hallo,
> ich habe das Problem das ich dieses Gleichungssystem
> (Gaussches Gleichunssytem) leider nicht lösen kann, der
> Parameter stört mich :)
> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte die Lösung
> rauszubekommen, also mir erklärt wie ich darauf komme!
> Bitte schildert es mir sehr genau, sonst kann ich es
> bestimmt nicht nachvollziehen. Danke!
>
> I x + y + z = 3
> II 2x - y + 3z =19
> III x + 2y + az=-10
>
> die Lösungen habe ich bekommen, sie heißen: x=2 y=-3 z=4
> a=-1,5
> nur wie komme ich darauf?
Das mußt du doch wissen, wo die Lösung herstammt. Nach meiner Rechnung gibt es für fast alle a
(außer a = [mm] \bruch{2}{3})
[/mm]
genau eine Lösung. Du kannst dir also irgendein a schnappen, z. B. a = -1,5, und dann x, y und z ausrechnen, indem du z. B. die 1. Zeile von der letzten und das 2fache der 1. Zeile von der 2. abziehst usw.
Das geht aber auch, wenn du zunächst den Parameter a stehen läßt! Also keine Bange!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke Dieter, ich hab es so mal gemacht und hab eine neue frage!
Also ich hab die Lösungen von meinem Lehrer, es sollten also exakt diese werte rauskommen ohne das ich a gegeben habe! (wenn a eine Zahl wäre, hätte ich mit dem Gleichungssystem kein problem mehr)
ich hab wie du sagtest für a eine Zahl eingesetzt a=2
also hab ich dann in der dritten Gleichung stehen x+2y+2z=-10
rechne dann III - I und komme auf y+z=13
dann rechne ich II - (2*I) und komme auf -3y+z=13
bei diesen beiden Gleichungen illiminiere ich y indem ich die erste mit 3 multipliziere und dann die I-II rechne. da komm ich auf 4z=-26
also z= -6.5 -> was ja aber durch das falsche a stimmt dies nicht mit der Vorgegebenen Lösung überein! Verstehst du was ich mein? a ist mir nicht gegeben und ich soll auf die Lösungen kommen die ich oben hin geschrieben hab! und ich hab keine Ahnung wie das gehen soll! der Anfang muß irgendwie anders sein als wie bei einem normalen Grausschen Gleichungssystem. Nur wie?
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Hallo!
> Danke Dieter, ich hab es so mal gemacht und hab eine neue
> frage!
> Also ich hab die Lösungen von meinem Lehrer, es sollten
> also exakt diese werte rauskommen ohne das ich a gegeben
> habe! (wenn a eine Zahl wäre, hätte ich mit dem
> Gleichungssystem kein problem mehr)
>
> ich hab wie du sagtest für a eine Zahl eingesetzt a=2
>
> also hab ich dann in der dritten Gleichung stehen
> x+2y+2z=-10
>
> rechne dann III - I und komme auf y+z=13
> dann rechne ich II - (2*I) und komme auf -3y+z=13
>
> bei diesen beiden Gleichungen illiminiere ich y indem ich
> die erste mit 3 multipliziere und dann die I-II rechne. da
> komm ich auf 4z=-26
>
> also z= -6.5 -> was ja aber durch
> das falsche a stimmt dies nicht mit der Vorgegebenen Lösung
> überein! Verstehst du was ich mein? a ist mir nicht gegeben
> und ich soll auf die Lösungen kommen die ich oben hin
> geschrieben hab! und ich hab keine Ahnung wie das gehen
> soll! der Anfang muß irgendwie anders sein als wie bei
> einem normalen Grausschen Gleichungssystem. Nur wie?
Ich verstehe immer noch nicht so ganz, wieso am Ende für a ein Wert angegeben wird. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Probiere doch mal die Rechenschritte genauso zu machen, als wenn a eine Zahl wäre. II-(2*I) kannst du ja genauso machen, und wenn du III-I machst, steht da y+(a-1)z=13. Das y müsstest du glaube ich genauso eliminieren können, wie du es mit a=2 gemacht hast. Probierst du das nochmal? Und bei weiteren Fragen wäre es nicht schlecht, wenn man das Gleichungssystem direkt daneben hätte. (Also entweder nochmal abtippen, oder auf deine Ursprungsfrage klicken, und dort eine weitere Frage stellen und dabei deinen ersten Text zitieren.)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mo 10.10.2005 | | Autor: | TheVirgin |
ich habe in der Klausur ( wo die Aufgabe stand) mit a gerechnet und es war falsch. Ich zeigs mal:
I x+y+z=3
II 2x-y+3x=19
III x+2y+az=-10 II-(2*I) bekomm ich raus: -3y+z=39 (V)
dann II-(2*III) kommt raus: -5y-az= -20 (VI)
-> (V*5)-(VI*3) da komm ich auf 8az = 182 /:8
az = 22,75
also z=22,75/a
das hab ich in die III Gleichung eingesetzt, weil sich das a dann wegkürzen würde.
hab dann für y= -12,35 und für x= -8,05 raus
was ja auch nicht den Lösungszahlen entspricht!
und ich denke ich habe mich nicht verrechnet! Oder?
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diesmal als Frage.....
1. ja sollte 3z heißen und nicht 3x, hab mich da wohl vertippt, sorry.
2. also wie ich auf die 39 komme. ich rechne II-(2*III) also nach dem = 19-(-20). ist bei mir 39 :) dacht ich zumindest
3. warum ich so komisch rechne? mir wurde das so erklärtdas ich mir von den 3 gleichungen eine "Haupttgleichung" raussuchen soll. von der geh ich dann aus und addiere erst die eine Gleichung dann die andere Gleichung mit ihr. also erst II-I und dann II-III -> daraus erhalte ich zwei Gleichungen die kein x mehr haben. dann elliminiere ich noch y und stell nach z um.
4. bei deiner rechnung versteh ich nicht. du gehst von z+3(a-1)z=13+3*(-13) aus und dann vergisst du aber das erste z oder wo ist das hin? weil du schreibst doch das das das selbe ist sie (3a-2)z=-26. fehlt da nicht vor der klammer noch ein z? oder ich versteh das ne ganz....
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Hallo!
> diesmal als Frage.....
Gut. 
> 1. ja sollte 3z heißen und nicht 3x, hab mich da wohl
> vertippt, sorry.
Macht nichts.
> 2. also wie ich auf die 39 komme. ich rechne II-(2*III)
> also nach dem = 19-(-20). ist bei mir 39 :) dacht ich
> zumindest
Du hast die 39 aber da hingeschrieben, wo du II-I oder so was ähnliches gerechnet hast, jedenfalls mit der ersten Gleichung und nicht mit der dritten!
> 3. warum ich so komisch rechne? mir wurde das so erklärtdas
> ich mir von den 3 gleichungen eine "Haupttgleichung"
> raussuchen soll. von der geh ich dann aus und addiere erst
> die eine Gleichung dann die andere Gleichung mit ihr. also
> erst II-I und dann II-III -> daraus erhalte ich zwei
> Gleichungen die kein x mehr haben. dann elliminiere ich
> noch y und stell nach z um.
Ich glaub', da ist bei dir aber irgendwas schiefgegangen.
> 4. bei deiner rechnung versteh ich nicht. du gehst von
> z+3(a-1)z=13+3*(-13) aus und dann vergisst du aber das
> erste z oder wo ist das hin? weil du schreibst doch das das
> das selbe ist sie (3a-2)z=-26. fehlt da nicht vor der
> klammer noch ein z? oder ich versteh das ne ganz....
Warum hast du es denn nicht zitiert? Meinst du, ich weiß jetzt noch, was ich da vorhin geschrieben habe? Habe es mir jedenfalls nochmal angeguckt - es stimmt! Ich habe das x, das vor der Klammer stand, in die Klammer reingezogen, deswegen steht da dann ja auch auf einmal eine 1 oder so ähnlich. Guck dir das bitte nochmal genau an, und versuche am besten direkt die erste Umformung meiner letzten Gleichung mal selber zu machen, dann kommst du vielleicht auch auf mein Ergebnis.
Viele Grüße
Bastiane
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hallo :)
nein schau was ich mein (zitat :) )
> z+3(a-1)z=13+3*(-13) [mm]\gdw[/mm] (3a-3+1)z=-26 [mm]\gdw[/mm] (3a-2)z=-26
> [mm]\gdw z=\bruch{-26}{3a-2}[/mm]
du hast das nur die 3 die vor der Klammer steht ausmultipliziert, aber das z was vor der 3 steht müsste immer noch dort stehen. das tut es doch aber nicht.
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Hallo!
> nein schau was ich mein (zitat :) )
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> > z+3(a-1)z=13+3*(-13) [mm]\gdw[/mm] (3a-3+1)z=-26 [mm]\gdw[/mm] (3a-2)z=-26
> > [mm]\gdw z=\bruch{-26}{3a-2}[/mm]
>
> du hast das nur die 3 die vor der Klammer steht
> ausmultipliziert, aber das z was vor der 3 steht müsste
> immer noch dort stehen. das tut es doch aber nicht.
Doch, tut es wohl!
Linkst steht - ausmultipliziert:
$z+(3a-3)z=13+3*(-13) [mm] \gdw [/mm] z+3az-3z=13+3*(-13)$
und rechts steht - ausmultipliziert:
$3az-3z+z=-26$
Und das ist doch das Gleiche, oder nicht? 
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:54 Mo 10.10.2005 | | Autor: | TheVirgin |
> Doch, tut es wohl!
>
> Linkst steht - ausmultipliziert:
>
> [mm]z+(3a-3)z=13+3*(-13) \gdw z+3az-3z=13+3*(-13)[/mm]
>
> und rechts steht - ausmultipliziert:
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> [mm]3az-3z+z=-26[/mm]
>
> Und das ist doch das Gleiche, oder nicht?
....jetzt wo du es so schreibst hab ich es verstanden :) und komme auf das selbe Ergebniss. ist also wirklich das Gleiche, schuldigung :)
nur wenn ich dann z ind die Gleichung einsetzte -5y-az=-20 (hab Gleichung gewählt in der sich das a wegkürzt und ich das y berechnen kann) und nach y umstelle erhalte ich für y=1,2 es muß doch aber -3 sein...... also irgendwie haut das immernoch nicht hin.
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Hallo!
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> > Doch, tut es wohl!
> >
> > Linkst steht - ausmultipliziert:
> >
> > [mm]z+(3a-3)z=13+3*(-13) \gdw z+3az-3z=13+3*(-13)[/mm]
> >
> > und rechts steht - ausmultipliziert:
> >
> > [mm]3az-3z+z=-26[/mm]
> >
> > Und das ist doch das Gleiche, oder nicht?
>
> ....jetzt wo du es so schreibst hab ich es verstanden :)
> und komme auf das selbe Ergebniss. ist also wirklich das
> Gleiche, schuldigung :)
>
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> nur wenn ich dann z ind die Gleichung einsetzte -5y-az=-20
> (hab Gleichung gewählt in der sich das a wegkürzt und ich
> das y berechnen kann) und nach y umstelle erhalte ich für
> y=1,2 es muß doch aber -3 sein...... also irgendwie haut
> das immernoch nicht hin.
Ich hab keine Ahnung, was du hier gemacht hast. Wie kürzt sich denn das a weg? Ich habe einfach meine Gleichung genommen mit [mm] z=-\bruch{26}{3a-2}. [/mm] Wenn du nun mit diesem "Wert" y (z. B. mit der zweiten Gleichung) ausrechnest, erhältst du:
[mm] y=\bruch{-13a}{3a-2}. [/mm] Das wiederum eingesetzt in die erste Gleichung ergibt dann zusammen mit diesem z:
[mm] x=\bruch{22a+20}{3a-2}.
[/mm]
Wenn du nun überall für a deinen Wert einsetzt, kommen genau die Werte raus, die du angegeben hast.
Wie gesagt weiß ich nicht, warum für a noch etwas angegeben wurde - die allgemeine Lösung wäre das, was hier steht.
Viele Grüße
Bastiane
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Ich muss auch sehr hart kämpfen um Mathe zu verstehen.
Aber eins habe ich es mir auch gemerkt. Mit drei Gleichungen kann man maximal drei unbekannten finden.
Wenn ich mich irre korregiert mich bitte.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Di 11.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich muss auch sehr hart kämpfen um Mathe zu verstehen.
> Aber eins habe ich es mir auch gemerkt. Mit drei
> Gleichungen kann man maximal drei unbekannten finden.
> Wenn ich mich irre korregiert mich bitte.
> Danke
Wenn du eine eindeutige Lösung haben willst, dann hast du Recht. Sobald du mehr Unbekannte als Gleichungen hast, kannst du die Lösung nur in Abhängigkeit von einer der Variablen angeben, so wie ich es im anderen Post gemacht hat. Da in der Regel [mm] x_i [/mm] oder x,y,z für die Unbekannten stehen und a dann meist genommen wird, als "Platzhalter für eine Zahl" (naja, nicht gerade gut mathematisch ausgedrückt...), frage ich mich ja auch, wieso eine Lösung für a angegeben wird... Es kann damit höchstens eine spezielle Lösung gemeint sagt, fragt sich nur, warum gerade dieses a gewählt wurde.
Viele Grüße
Bastiane
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![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
