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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 20.06.2004 | | Autor: | frauke |
Hallo!
Bin neu im Matheraum. Hoffe, ihr könnt mir bei meiner Aufgabe helfen.
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem L mit c,d,f [mm]\ne[/mm]0.
ax + by =e
cx + dy =f
zu zeigen:
wenn [mm] \bruch{a}{c} [/mm] = [mm] \bruch{b}{d} [/mm] und [mm] \bruch{b}{d} [/mm][mm]\ne[/mm][mm] \bruch{e}{f} [/mm], dann hat L keine Lösung.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 So 20.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frauke,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ! 
> Hallo!
> Bin neu im Matheraum. Hoffe, ihr könnt mir bei meiner
> Aufgabe helfen.
Generell sind eigene Lösungsversuche immer erwünscht, aber das hast du bestimmt schon in den Regeln gelesen. Bitte in Zukunft dran denken!
> Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem L mit c,d,f
> [mm]\ne[/mm]0.
>
> ax + by =e
> cx + dy =f
>
> zu zeigen:
> wenn [mm]\bruch{a}{c} =\bruch{b}{d}[/mm] und [mm]\bruch{b}{d} [/mm][mm]\ne[/mm][mm] \bruch{e}{f} [/mm],
> dann hat L keine Lösung.
Ich gebe den Dingern da jetzt Namen:
1.) $c,d,f [mm] \ne [/mm] 0$
2.) [mm]\bruch{a}{c} =\bruch{b}{d}[/mm]
3.) [mm]\bruch{b}{d} \ne \bruch{e}{f} [/mm]
(I) $ax + by =e$
(II) $cx + dy =f$
Also:
Es gilt:
(i) $a,b [mm] \ne [/mm] 0$
Denn wäre $a=0$, so würde aus 2.) folgen, dass auch $b=0$ gelten würde. Aus (I) würde dann $e=0$ folgen, was aber 3.) widersprechen würde.
Wäre $b=0$, so kommt man genauso zum Widerspruch.
Angenommen, es gäbe eine Lösung. Wir rechnen ein bisschen und beachten dabei, dass wir wegen 1.) und (i) hier ohne Gewissenbisse umformen können. 
Also:
$c*(I)-a*(II)$:
[mm]cby-ady=ce-af
\gdw[/mm]
[m]y(cb-ad)=ce-af[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]yd(\frac{cb}{d}-a)=f(\frac{ce}{f}-a)[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]ydc(\frac{b}{d}-\frac{a}{c})=fc(\frac{e}{f}-\frac{a}{c})[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
(*) [m]y*\frac{d}{f}*(\frac{b}{d}-\frac{a}{c})=(\frac{e}{f}-\frac{a}{c})[/m]
Wenn nun aber 2.) und 3.) gilt, dann folgt aus (*):
[m]y*\frac{d}{f}*0=(\frac{e}{f}-\frac{a}{c}) =(\frac{e}{f}-\frac{b}{d})\ne 0[/m] ,
(Der [mm] Ausdruck:$y*\frac{d}{f}*0$ [/mm] wegen 2.), [m](\frac{e}{f}-\frac{a}{c})=(\frac{e}{f}-\frac{b}{d})[/m] auch wegen 2.) und [m](\frac{e}{f}-\frac{b}{d}) \ne 0[/m] wegen 3.))
was $0 [mm] \ne [/mm] 0$ impliziert.
Widerspruch!
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Viele Grüße
Marcel
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