lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem: [mm] A*\vec{x}=\vec{d}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] , [mm] x=(x,y,z)^{T} [/mm] und d=(6,3,-9) ist.
|
Hallo Nochmal.
den Ansatz hierzu habe ich
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }* \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ -9}
[/mm]
Aber was nun? Wie muss ich denn als nächstes vorgehen?
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Gruß Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 31.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
du hast doch bestimmt schon mal was vom Gausschen Eliminationsverfahren gehört?
Ich weiß ja nicht genau welche Schule du besuchst, aber an der Uni ist das im 1. Semester fester Inhalt gleich zu Beginn der Vorlesungen, zumindest in Mathematik oder Physik.
Dieses musst du hier natürlich anwenden und die Matrix somit auf reduzierte Zeilenstufenform bringen.
Dieses System ist recht einfach, da du hier keine Freiheitsgrade hast. Das heißt dein System ist eindeutig lösbar und das Ergebnis aus der reduzierten Zeilenstufenform direkt ablesbar.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
Hallo und ein Frohes neues Jahr.
Ist denn das Gaußsche Eliminationsverfahren das selbe wie der Gaußsche Algorithmus, wenn ja, dann kann ichs nicht.
Da muss ich ja dann immer eine Zeile irgendwie auf Null bringen oder?
Aber ich weiß immer nie welche ich da am besten mit welcher Zeile multiplizieren soll.
Gibt es da denn nen Trick dafür, wie man das ganz einfach sieht?
|
|
|
| |
|
Hallo Daniel,
Wenn du ein Gleichungssystem [mm]Av = b[/mm] hast und auf beiden Seiten von links mit einer Matrix multiplizierst, deren Zeilenlänge der Spaltenlänge von [mm]A[/mm] (und damit natürlich auch [mm]b[/mm]) entspricht, ändert sich nichts an der Gleichung. Insbesondere kannst du ein solches System auch mit einer ![[]](/images/popup.gif) Permutationsmatrix [mm]P[/mm] multiplizieren: [mm]Av = b \gdw PAv = Pb[/mm].
In deinem Falle mußt du genau das machen, weil du um die erste Spalte von [mm]A[/mm] zu eliminieren ("auf 0 zu bringen"), durch dieses Diagonalelement wirst teilen müssen. Also multipliziere z.B. zunächst auf beiden Seiten mit
[mm]P_1 = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/mm] oder [mm]P_2 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}[/mm]
(Wobei [mm]P_2[/mm] vermutlich mehr dem gebräuchlichen Gauss-Algorithmus entspricht (wenn man es im Computer implementieren möchte).) Die Einzelheiten des Gauss-Algorithmus kannst du dir auch hier durchlesen und dann weitere Fragen stellen.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
> (Wobei [mm]P_2[/mm] vermutlich mehr dem gebräuchlichen
> Gauss-Algorithmus entspricht (wenn man es im Computer
> implementieren möchte).)
Den Satz nehme ich zurück. Beim numerischen Gauss-Algorithmus mit partieller Pivotisierung ist lediglich darauf zu achten, daß die gewählte Permutationsmatrix die Zeile des betragsgrößten Spaltenelements unterhalb des aktuellen Spaltenelements an die Position der Zeile des aktuellen Spaltenelements tauscht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 01.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du deine Matrixmultiplikation mal durchführst, erhältst du:
$ [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }\cdot{} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ -9} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \vmat{y+z=6\\x-2y+2z=3\\x+z=-9}
[/mm]
Das LGS gilt es jetzt zu lösen
Marius
|
|
|
|
