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Hallo Bastiane!
Letztendlich kann man diesen Schritt machen, weil gilt:
[mm] $\langle x;x'\rangle=0\ \forall\, x'\in\IR^n\quad\Leftrightarrow\quad [/mm] x=0$.
Die Begründung hierfür ist folgende: Sei [mm] $\{e_1;\dots;e_n\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^n$. [/mm] Dann gibt es [mm] $x_1,\dots,x_n\in\IR$, [/mm] so dass [mm] $x=\summe_{k=1}^nx_ke_k$. [/mm] Es folgt:
Sei nun [mm] $\langle x;x'\rangle=0\ \forall\, x'\in\IR^n$. [/mm] Dann ist insbesondere [mm] $\langle x;e_k\rangle=0$ [/mm] für alle [mm] $1\le k\le [/mm] n$. Es folgt:
[mm] $\langle x;x\rangle=\langle x;\summe_{k=1}^nx_ke_k\rangle=\summe_{k=1}^n x_k\langle x;e_k\rangle=0$.
[/mm]
Da [mm] $\langle\cdot;\cdot\rangle$ [/mm] ein Skalarprodukt ist, folgt $x=0$.
Ist dir der Schritt jetzt klar?
Gruß, banachella
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