linearer Teilraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Im Raum [mm] L_{2}(0,1) [/mm] definieren wir die Teilmenge [mm] M:={x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass M ein abgeschlossener linearer Teilraum von [mm] L_{2}(0,1) [/mm] ist |
Also allgemein müsste man zeigen:
(i) [mm] x,y\in [/mm] M: [mm] x+y\in [/mm] M
(ii) [mm] x\in [/mm] M, [mm] a\in\IK: (a*x)\in [/mm] M
(iii) [mm] M\not=\emptyset
[/mm]
zu (i):
[mm] x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0
[/mm]
[mm] \underbrace{y\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{y(t) dt}=0}_{x+y=\integral_{0}^{1}{x(t)+y(t) dt}=0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist bezüglich (+) abgeschlossen
zu (ii):
[mm] x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0
[/mm]
Hier meine erste Frage, auf welchen Körper [mm] \IK [/mm] bezieht sich [mm] L_{2}(0,1)? [/mm] ist das der [mm] \IR^{n}? [/mm] woran erkenne ich das?
Falls [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR^{n}, [/mm] dann gilt mit [mm] a\in\IK
[/mm]
[mm] a*x=\integral_{0}^{1}{a*x(t) dt}=a*\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist bezüglich (*) abgeschlossen
zu (iii)
könnte man das so machen?:
[mm] 0\in\IK
[/mm]
[mm] 0*x=\integral_{0}^{1}{0*x(t) dt}=0*\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0\in M\not=\emptyset
[/mm]
MfG
Doc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Im Raum [mm]L_{2}(0,1)[/mm] definieren wir die Teilmenge [mm]M:={x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass M ein abgeschlossener linearer Teilraum
> von [mm]L_{2}(0,1)[/mm] ist
> Also allgemein müsste man zeigen:
>
> (i) [mm]x,y\in[/mm] M: [mm]x+y\in[/mm] M
> (ii) [mm]x\in[/mm] M, [mm]a\in\IK: (a*x)\in[/mm] M
> (iii) [mm]M\not=\emptyset[/mm]
>
> zu (i):
> [mm]x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0[/mm]
>
> [mm]\underbrace{y\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{y(t) dt}=0}_{x+y=\integral_{0}^{1}{x(t)+y(t) dt}=0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist bezüglich (+) abgeschlossen
Korrekt lautet das so: seien x,y [mm] \in [/mm] M. Dann ist : [mm] \integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0= \integral_{0}^{1}{y(t) dt}, [/mm] folglich ist auch [mm] :\integral_{0}^{1}(x(t)+{y(t)) dt}= \integral_{0}^{1}{x(t) dt}+ \integral_{0}^{1}{y(t) dt}=0. [/mm] Damit ist x+y [mm] \in [/mm] M
>
> zu (ii):
> [mm]x\in L_{2}(0,1):\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0[/mm]
Hier wieder: x [mm] \in [/mm] M
> Hier meine
> erste Frage, auf welchen Körper [mm]\IK[/mm] bezieht sich
> [mm]L_{2}(0,1)?[/mm] ist das der [mm] \IR^{n}?
[/mm]
Das ist doch kein Körper !!
woran erkenne ich das?
Nimm [mm] \IK= \IR [/mm] oder = [mm] \IC.
[/mm]
> Falls [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR^{n},[/mm] dann gilt mit [mm]a\in\IK[/mm]
> [mm]a*x=\integral_{0}^{1}{a*x(t) dt}=a*\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0[/mm]
Korrekt: [mm] \integral_{0}^{1}{(a*x)(t) dt}=a*\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist bezüglich (*) abgeschlossen
>
> zu (iii)
> könnte man das so machen?:
Nein. Es ist doch trivialerweise die Nullfunktion in M !
> [mm]0\in\IK[/mm]
> [mm]0*x=\integral_{0}^{1}{0*x(t) dt}=0*\integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0\in M\not=\emptyset[/mm]
Du mußt auch noch zeigen: M ist abgeschlossen.
FRED
>
> MfG
> Doc
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:58 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Docci |
Vielen Dank für deine Korrekturen!
Also dann komme ich nochmal zu (iii)
Es müsste ja eigentlich reichen, wenn ich ein [mm] x\in L_{2}(0,1) [/mm] finde, so dass [mm] \integral_{0}^{1}{x(t) dt}=0 [/mm] ,also zum Bsp. [mm] x(t)=t-\bruch{1}{2} \Rightarrow x\in [/mm] M
allerdings komme ich bei der Abgeschlossenheit nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 06.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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