lineare unabhängigkeit von vek < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 11.11.2008 | | Autor: | Jessi1 |
| Aufgabe | Es seien a1,...,am E [mm] R^3 [/mm] und es sei bk= [mm] \summe_{\nu=1}^{n} a\nu [/mm] für k=1,...,m.
Zeige die Vektoren a1,....,am sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren b1,...,bm linear unabhängig sind. |
meine frage ist eigentlich ganz simpel: was mus ich machen?
theoretisch ist es mir klar,aber ich weiß nie wie man es aufschreiben soll...
schonmal danke für eure hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm] a_1,...,a_m \in[/mm] [mm]\IR^3[/mm] und es sei [mm] b_k=[/mm] [mm]\summe_{\nu=1}^{\red{k}} a_{\nu}[/mm]
> für k=1,...,m.
> Zeige die Vektoren [mm] a_1,....,a_m [/mm] sind genau dann linear
> unabhängig, wenn die Vektoren [mm] b_1,...,b_m [/mm] linear unabhängig
> sind.
> meine frage ist eigentlich ganz simpel: was mus ich
> machen?
>
> theoretisch ist es mir klar,aber ich weiß nie wie man es
> aufschreiben soll...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schade, daß Du nicht erzählst, warum Dir das "theoretisch klar" ist, dann hätte man einen viel besseren Ansatzpunkt für Hilfe.
Wir erwarten ja lt. Forenregeln von Dir eigene Lösungsansätze, und das wäre einer.
Ist Dir denn generell die lineare Unabhängigkeit klar? Was mußt Du zeigen, wenn Du die lineare Unabhängigkeit von 5 Vektoren [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_5 [/mm] nachweisen willst?
Zur Aufgabe: zu zeigen sind hier ja zwei Richtungen, und man sollte diese tunlichst getrennt behandeln, um sich nicht zu verheddern.
Zu zeigen ist also
A. [mm] a_1,..., a_m [/mm] linear unabhängig ==> [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_m [/mm] linear unabhängig
B. [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_m [/mm] linear unabhängig ==> [mm] a_1,..., a_m [/mm] linear unabhängig
Zu A.:
Voraussetzung:
[mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_m [/mm] sind linear unabhängig.
Das bedeutet: wenn es eine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt, so sind alle Koeffizienten =0.
zu zeigen: Dann sind [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_m [/mm] linear unabhängig
Das bedeutet: wenn es eine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt, so sind alle Koeffizienten =0.
Beweis:
Es seien [mm] \lambda_i\in \IR, [/mm] i=1,...,m mit
[mm] \lambda_1b_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 b_2 [/mm] +... [mm] +\lambda_m b_m=0 [/mm]
==>
[mm] \lambda_1\summe_{\nu=1}^{1} a_{\nu} [/mm] + [mm] \lambda_2 \summe_{\nu=1}^{2} a_{\nu} [/mm] +... [mm] +\lambda_m \summe_{\nu=1}^{m} a_{\nu}=0 [/mm]
Nun "zählst" Du die jeweiligen [mm] a_i
[/mm]
==>
[mm] (\lambda_1 +\lambda_2 +...+\lambda_m)a_1 [/mm] + [mm] (\lambda_2 +\lambda_3+ [/mm] ... [mm] +\lambda_m)a_2 +(\lambda_3 +\lambda_4 +...+\lambda_m)a_3 +....+(\lambda_{m-1} +\lambda_m)a_{m-1} +\lambda_ma_m=0
[/mm]
==> Nun hast Du eine Linearkombination der [mm] a_i [/mm] dastehen. Bring jetzt die Voraussetzung ins Spiel.
Gruß v. Angela
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