lineare unabhängigkeit von EV < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Aurelie |
Noch jemand hier unterwegs?
Ich wüsste gerne wieso nochmal Eigenvektoren aus verschieden Eigenräumen linear unabhängig sind?
Wär super wenn mir das noch jemand sagen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Do 02.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Noch jemand hier unterwegs?
Ja :)
> Ich wüsste gerne wieso nochmal Eigenvektoren aus
> verschieden Eigenräumen linear unabhängig sind?
Sei [mm] $v_i$ [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_i$, [/mm] $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Und sei [mm] $\lambda_i \neq \lambda_j$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$.
Dann zeigt man per Induktion nach $n$, dass [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] linear unabhaengig sind. Fuer $n = 1$ ist dies klar. Fuer den Induktionsschritt nimmt man eine Linearkombination [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i v_i [/mm] = 0$. Einmal multipliziert man diese mit [mm] $\lambda_n$, [/mm] und dann wendet man den Endomorphismus auf diese an. Beide Male erhaelt man eine Linearkombination der [mm] $v_i$ [/mm] zu $0$, und wenn man diese voneinander abzieht, hat man ploetzlich eine Linearkombination [mm] $\sum_{i=1}^{n-1} (\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_n) \mu_i v_i [/mm] = 0$. Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] $(\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_n) \mu_i [/mm] = 0$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n - 1$, und da [mm] $\lambda_i [/mm] - [mm] \lambda_n \neq [/mm] 0$ ist fuer diese $i$ ist somit [mm] $\mu_i [/mm] = 0$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n-1$, und dann auch [mm] $\mu_n [/mm] = 0$. Voila! :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Do 02.08.2007 | | Autor: | Aurelie |
Aaaahhh, jetzt ist's mir klar!
Besten Dank für die Hilfe zu so später Stunde
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