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hallo leute ich hab da mal wieder verständis probleme ich hoffe ihr könnt mir helfen
also ich hab im skript zu stehen dass die menge der exponentialfunktionen (e^ax) ( a element reelle Zahlen) linear unabhängig sind, aber ich versteh nicht warum das so ist, ich versuch schon die ganze zeit das nachzurechne , aber ich komm einfach nicht weiter, vielleicht hat ja einer von euch ne erklärung für mich
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> also ich hab im skript zu stehen dass die menge der
> exponentialfunktionen (e^ax) ( a element reelle Zahlen)
> linear unabhängig sind, aber ich versteh nicht warum das so
> ist
Hallo,
wenn eine Menge Elementen ( [mm] v_{1}, v_{2},..., v_{n}) [/mm] eines VRs über [mm] \IR [/mm] linear unabhängig ist, gilt doch, daß aus
0= [mm] a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n} [/mm] mit [mm] a_{i} \in \IR [/mm] folgt [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n}.
[/mm]
So.
Angenommen, wir haben eine Darstellung der Null als Linearkombination von Exponentialfunktionen:
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} e^{b_{i}x}, a_{i},b_{i} \in \IR, [/mm] die [mm] b_{i} [/mm] paarweise verschieden. Betrachte das Ganze für x=0 ==> 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
Wenn ich nicht falsch nachgedacht habe, kommt nun der Witz:
Ableiten!
==> 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}e^{b_{i}x}
[/mm]
Für x=0 erhält man ==> 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}
[/mm]
2.Ableitung:
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{2}e^{b_{i}x}
[/mm]
x=0: 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{2}
[/mm]
...
(n-1)-te Ableitung: 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{n-1}e^{b_{i}x}
[/mm]
x=0: 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{n-1}
[/mm]
Nun schaue ich mir das Gleichungssystem an, daß ich bekomme:
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}
[/mm]
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{2}
[/mm]
...
0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} {b_{i}}^{n-1}
[/mm]
Da die [mm] b_{i} [/mm] paarweise verschieden sind, folgt [mm] a_{i}=0 [/mm] für alle i. (Stichwort: Vandermondesche Determinante).
Also haben wir erhalten, daß aus 0= [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} e^{b_{i}x} [/mm] folgt [mm] a_{i}=0 [/mm] und somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
In der Hoffnung (die Hoffnung stirbt zuletzt...), daß a. alles richtig ist und es Dir b. nützt
Gruß v. Angela
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