lineare unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 13.04.2005 | | Autor: | crowmat |
wie zeige ich folgendes:
sei f: G [mm] \subset \IR^{2} \to \IR [/mm] differenzierbar in x [mm] \in [/mm] G und grad [mm] f(x)\not=0! [/mm] seien v,w zwei richtungsvektoren mit [mm] \bruch{\partial f }{ \partial v} [/mm] (x) =0 [mm] \bruch{\partial f }{ \partial w} [/mm] (x) =0 zeigen sie, dass v und w linear abhängig sind!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo crowmat,
kannst du da nicht einfach mit der Definition von der Richtungsableitung arbeiten?
[mm] $\frac{\partialf}{\partial v}(x)=\left< grad\, f(x); v\right> [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)v_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)v_2$
[/mm]
Damit folgt:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)v_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)v_2=0 \gdw \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)v_1=- \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)v_2$
[/mm]
und analog
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)w_1=- \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)w_2$
[/mm]
Wegen [mm] $grad\, f(x)\neq \vektor{0\\0}$ [/mm] können nicht gleichzeitig [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_2}(x)$ [/mm] Null werden.
1. Fall: [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)=0 \wedge \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)\neq [/mm] 0$:
Dann gilt [mm] $v_2=w_2=0$ [/mm] und damit sind $v$ und $w$ linear abhängig.
2. Fall: [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\neq [/mm] 0 [mm] \wedge \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)= [/mm] 0$:
Dann gilt [mm] $v_1=w_1=0$ [/mm] und damit sind $v$ und $w$ linear abhängig.
3. Fall: [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\neq0 \wedge \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)\neq [/mm] 0$:
Dann gilt mit [mm] $k=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_2}(x)}{\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)}$, [/mm] dass [mm] $v_1=kv_2$ [/mm] und [mm] $w_1=kw_2$. [/mm] Also sind $v$ und $w$ linear abhängig.
Ich hoffe mal, dass das so richtig ist.
Gruß Max
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