lineare hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 14.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Beweisen sie!
a) [mm] L(A\capB)=A\cap [/mm]
[mm] b)L(A\cupB) [/mm] ist der kleinste UR, der A und B enthält, ferner ist er auch die Menge aller möglichen Vektoren [mm] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, [/mm] wobei [mm] \overrightarrow{a}\inA [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}\inB [/mm] |
ich habe diese frage bereits schoneinmal hier gestellt, nur leider noch keine antwort erhalten- ich fürchtete, dass evtl an der schreibweise liegt und habe es deshalb hier nocheinmal neu eingetippt....
kann mir jemand ne idee für den beweis liefern? und auch mal ein bsp, dass man sieht, dass diese gesetze wirklich gelten- denn ich habe es eben probiert, komme jedoch nicht darauf, habe also irgendwas falsch gemacht...
besten dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:12 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
ich schreibe mal die Aufgabe nochmal hin :
Beweisen sie!
a) [mm] {L(A\cap B)=A\cap B}
[/mm]
b) [mm] {L(A\cup B)} [/mm] ist der kleinste UR, der A und B enthält, ferner ist er auch die Menge aller möglichen Vektoren [mm] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, [/mm] wobei [mm] {\overrightarrow{a}\in A} [/mm] und [mm] {\overrightarrow{b}\in B}
[/mm]
Die gesammte Aufgabe läuft darauf hinaus, die Räume A und B durch ihre Basen [mm] a_1,a_2,... [/mm] und [mm] b_1,b_2,... [/mm] zu beschreiben.
Wenn man die Linearkombinationen der Basisvektoren betrachtet erhält man die linearen Hüllen und die entsprechenden Räume.
Bsp.
a) [mm] a_1=e_1, a_2=e_2 [/mm] (x-y-Ebene) und [mm] b_1=e_2, b_2=e_3 [/mm] (y-z-Ebene) im [mm] \IR^3
[/mm]
dann ist [mm] {A\cap B}=L(e_2)=L({A\cap B}) [/mm] (y-Achse)
b) [mm] a_1=e_1, b_1=e_2
[/mm]
[mm] {L(A\cup B)}={L(e_1,e_2)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 15.12.2007 | | Autor: | jura |
ok, erstmal besten dank!! irgendwie hat es wieder nur die hälfte meiner aufgabe gezeigt oder ich hab was vergessen beim tippen...naja, zum glück hast dus ja richtig gedeutet 
> Bsp.
> a) [mm]a_1=e_1, a_2=e_2[/mm] (x-y-Ebene) und [mm]b_1=e_2, b_2=e_3[/mm]
> (y-z-Ebene) im [mm]\IR^3[/mm]
> dann ist [mm]{A\cap B}=L(e_2)=L({A\cap B})[/mm] (y-Achse)
nach meiner logik wäre [mm] {A\cap B}=e_2. [/mm] wieso ist es aber die menge aller linearkombinationen von [mm] e_2, [/mm] also [mm] L(e_2)? [/mm] vielleicht stelle ich mir auch A und B schon falsch vor?- sind das einfach nur mengen von vektoren, oder beinhalten sie bereits lk dieser vektoren?
> b) [mm]a_1=e_1, b_1=e_2[/mm]
> [mm]{L(A\cup B)}={L(e_1,e_2)}[/mm]
und woran erkennt man nun, dass das der kleinste UR ist, der A und B enthält, bzw., dass dies die menge aller möglichen vektoren [mm] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} [/mm] ist????- weil man die einzelnen vektoren der linearen hülle ja auch als lk darstellen kann, sodass man ja auch wieder auf die form [mm] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} [/mm] kommt??
und wie führe ich den beweis? wär nett, wenn du mir da weiterhelfen könntest!!danke und tschüss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Somebody |
Möglicherweise seid ihr ja bei der Lösung dieser Aufgabe auf gutem Wege. Was mich bei eurer Diskusion leicht verwirrt ist aber dies: Mit welcher Definition von "lineare Hülle" arbeitet ihr eigentlich? Es sind nämlich mehrere (äquivalente) Definitionen dieses Begriffs in Umlauf.
So kann man die lineare Hülle $L(A)$ als die Menge aller Linearkombinationen von Elmenten aus $A$ definieren (sog. 'konstruktive Definition').
Oder man kann die lineare Hülle $L(A)$ als den kleinsen Unterraum, der $A$ enthält, definieren (d.h. als sog. 'Hüllenoperator').
Oder man kann $L(A)$ als Durchschnitt aller Unterräume, die $A$ enthalten, definieren...
Je nachdem, welche dieser Definitionen man zugrunde legt, muss man manches beweisen und kann anderes als schon definitionsgemäss erfüllt annehmen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Wenn A und B beliebige Mengen wären, wäre deine Logik richtig. Dann würde jedoch deine Aufgabe nicht so richtig Sinn machen. Daher bin ich mal davon ausgegangen, dass A und B Vektorräume (bzw. Unterräume) sind. Somit müssen sie auch die dafür nötigen Bedingungen erfüllen.
In diesen Fall interessant ist , dass für [mm] a\in [/mm] A gilt, dass auch [mm] k*a\in [/mm] A sein muss und mit einem weiterem [mm] a_2\in [/mm] A auch [mm] a+a_2\in [/mm] A.
D.h. die Definition eines Vektorraum ist in dem Punkt der der linearen Hülle sehr ähnlich. Genau das ist hier zu zeigen.
(zu Somebody : Ich gehe von der Version mit der lin. Komb. aus, da man meist die anderen beiden aus dieser folgert. Z.B. in einer Aufgabe wie hier.)
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 16.12.2007 | | Autor: | jura |
ok, A und B sind also UR, folglich gilt die abgeschlossheit bezüglich addition und multiplikation- das versteh ich ja noch- aber wieso ist der durchschnitt von A, B dann auch wieder eine linearkombination der gemeinsamen elemente? was ist dann der unterschied zwischen [mm] A\cap [/mm] B und [mm] L(A\cap [/mm] B)?
und kannst du mir noch weiterhelfen bei der beweisführung?
danke und gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 16.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Wieso der Durchschnitt von A und B dann auch wieder eine Linearkombination der gemeinsamen Elemente ist, ist genau die Frage bei a).
Damit dies gilt muss [mm] {A\cap B} [/mm] doch auch wieder abgeschlossen bzgl. Mult. und Addition sein.
Also: [mm] {v,w\in A\cap B} [/mm] mit [mm] v=\summe_{i=1}^{n_A}k_i a_i [/mm] und [mm] v=\summe_{i=1}^{n_B}l_i b_i [/mm] , da [mm] v\in [/mm] A und [mm] v\in [/mm] B.
Dann folgt [mm] m*v=\summe_{i=1}^{n_A}m*k_i a_i=\summe_{i=1}^{n_A}k'_i a_i \in [/mm] A und
[mm] m*v=\summe_{i=1}^{n_B}m*l_i b_i=\summe_{i=1}^{n_B}l'_i b_i \in [/mm] B.
Womit auch [mm] m*v\in {A\cap B} [/mm] liegt.
Jetzt noch [mm] v+w=\summe_{i=1}^{n_A}(k_i+k^w_i) a_i=\summe_{i=1}^{n_A}k'_i a_i \in [/mm] A und
[mm] v+w=\summe_{i=1}^{n_B}(l_i+l^w_i) b_i=\summe_{i=1}^{n_B}l'_i b_i \in [/mm] B.
Schon ist auch [mm] v+w\in {A\cap B}.
[/mm]
D.h. [mm] {A\cap B} [/mm] ist ein Unterraum, also bereits abgeschlossen (bzgl. ...). Durch Bilden der lin. Hülle kommen somit keine neuen Elemente hinzu.
Wir haben bei UR keinen Unterschied zwischen [mm] {A\cap B} [/mm] und [mm] {L(A\cap B)}.
[/mm]
Bei b) benutzt du zu der Summenschreibweise am besten noch die Annahme, dass die Aussage falsch ist.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 16.12.2007 | | Autor: | jura |
> Wieso der Durchschnitt von A und B dann auch wieder eine
> Linearkombination der gemeinsamen Elemente ist, ist genau
> die Frage bei a).
> Damit dies gilt muss [mm]{A\cap B}[/mm] doch auch wieder
> abgeschlossen bzgl. Mult. und Addition sein.
> Also: [mm]{v,w\in A\cap B}[/mm] mit [mm]v=\summe_{i=1}^{n_A}k_i a_i[/mm] und
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n_B}l_i b_i[/mm] , da [mm]v\in[/mm] A und [mm]v\in[/mm] B.
ich verstehe nicht ganz, wie man auf diesen ansatz kommt, warum das l und k?
> Dann folgt [mm]m*v=\summe_{i=1}^{n_A}m*k_i a_i=\summe_{i=1}^{n_A}k'_i a_i \in[/mm]
> A und
> [mm]m*v=\summe_{i=1}^{n_B}m*l_i b_i=\summe_{i=1}^{n_B}l'_i b_i \in[/mm]
> B.
> Womit auch [mm]m*v\in {A\cap B}[/mm] liegt.
> Jetzt noch [mm]v+w=\summe_{i=1}^{n_A}(k_i+k^w_i) a_i=\summe_{i=1}^{n_A}k'_i a_i \in[/mm]
> A und
> [mm]v+w=\summe_{i=1}^{n_B}(l_i+l^w_i) b_i=\summe_{i=1}^{n_B}l'_i b_i \in[/mm]
> B.
> Schon ist auch [mm]v+w\in {A\cap B}.[/mm]
>
> D.h. [mm]{A\cap B}[/mm] ist ein Unterraum, also bereits
> abgeschlossen (bzgl. ...). Durch Bilden der lin. Hülle
> kommen somit keine neuen Elemente hinzu.
> Wir haben bei UR keinen Unterschied zwischen [mm]{A\cap B}[/mm] und
> [mm]{L(A\cap B)}.[/mm]
ok, gut den schritt vom UR zur linearen hülle kann ich dann nachvollziehen, danke auf alle fälle!!!!
> Bei b) benutzt du zu der Summenschreibweise
> am besten noch die Annahme, dass die Aussage falsch ist.
>
> Ciao.
|
|
|
| |
|
> > Wieso der Durchschnitt von A und B dann auch wieder eine
> > Linearkombination der gemeinsamen Elemente ist, ist genau
> > die Frage bei a).
> > Damit dies gilt muss [mm]{A\cap B}[/mm] doch auch wieder
> > abgeschlossen bzgl. Mult. und Addition sein.
> > Also: [mm]{v,w\in A\cap B}[/mm] mit [mm]v=\summe_{i=1}^{n_A}k_i a_i[/mm]
> und
> > [mm]v=\summe_{i=1}^{n_B}l_i b_i[/mm] , da [mm]v\in[/mm] A und [mm]v\in[/mm] B.
>
> ich verstehe nicht ganz, wie man auf diesen ansatz kommt,
> warum das l und k?
Hallo,
ich habe mir zugegebenermaßen nicht alles durchgelesen, gehe jedoch davon aus, daß A und B Vektorräume sind.
Wenn v gleichzeitig in A und B liegt, hat v eine jeweils eindeutige Darstellung bzgl der Basis [mm] (a_i,...,a_{n_A}) [/mm] von A und der Basis [mm] (b_1,...b_{n_B}) [/mm] von B.
Also gibt es [mm] k_i [/mm] und [mm] l_i, [/mm] so daß
> [mm] v=\summe_{i=1}^{n_A}k_i a_i[/mm] [/mm]
> und
> [mm]v=\summe_{i=1}^{n_B}l_i b_i[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Mo 17.12.2007 | | Autor: | jura |
ja, is klar, danke!
ok, ich meine nun, alles verstanden zu haben- mein großer fehler war eben, dass ich mir A und B als mengen vorgestellt habe und nicht als UR- da macht das ganze nun natürlich mehr sinn!
also besten dank noch mal an alle erklärer und helfer!!!
|
|
|
|
