lineare abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 13.03.2005 | | Autor: | bigwave |
Wäre nett, wenn das einer mal schnell lösen könnte:
Wie müssen die parameter alpha und beta numerisch gewählt werden, damit die folgenden Vektoren linear abhängig sind?
x= (-3,alpha,beta) y= (4,-2,-2) z= (-2,1,-2)
Nach meinen Rechnungen erhalte ich: alpha=1,5 und beta=(3x-6y)/x
wobei man ja numerische Lösungen suchen soll. Stimmt denn nun das beta, oder kann man das genau bestimmen?
danke für eure beteiligung.
grüße aus mannheim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 13.03.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo bigwave,
die korrekte Lösung ist:
[mm]\alpha = \frac{3}{2}[/mm]
[mm]\beta \in \IR[/mm] beliebig
Rechenweg:
[mm]\vmat{ -3 & 4 & -2 \\
\alpha & -2 & 1 \\
\beta & -2 & -2} = -12 + 4\beta +4\alpha - 4\beta - 6 + 8\alpha = 12\alpha - 18 =: det(a)[/mm]
Setze det(a) = 0, in diesem Fall sind die Vektoren x,y,z linear abhängig:
[mm]det(a) = 0 = 12\alpha - 18 \Rightarrow \alpha = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}[/mm]
Weiter ist meine Vermutung, dass
[mm]x = c_y y + c_z z[/mm] mit gewissen [mm]c_y, c_z \in \IR[/mm]
Also (mit dem Gauß Algorithmus):
[mm]\left. \begin{matrix}
4 & -2 \\
-2 & -2
\end{matrix} \right| \begin{matrix}-3 \\ \beta\end{matrix}[/mm]
[mm]\left. \begin{matrix}
4 & -2 \\
0 & -3
\end{matrix} \right| \begin{matrix}-3 \\ \beta -\frac{3}{2} \end{matrix}[/mm]
[mm]\Rightarrow c_z = -\frac{1}{3}\beta + \frac{1}{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow c_y = -\frac{1}{6}\beta - \frac{1}{2}[/mm]
Mache mal die Probe, wenn du z. B. [mm]\beta = 0[/mm] einsetzt.
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