lineare abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3}, [/mm] mit f(1,0) = (1,3,7) und f(0,1) = (-2,1,0) eine lineare Abbildung
a) finden Sie den ausdruck für [mm] f(x_1,x_2), [/mm] wenn [mm] x_1,x_2 \in \IR
[/mm]
b)Zeigen Sie anhand der Definition, dass V ein Untervektorraum von [mm] \IR^{2} [/mm] ist, wobei V= {x:x [mm] \in \IR^{2}, [/mm] f(x)=(0,0,0)} |
Hallo leute!
Könnte mir hier bitte jemand erklären wie ich das angehe, ich verstehe nicht mal die angabe ganz...
Vielen Dank für eure Hilfe,
lg markus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR^{3},[/mm] mit f(1,0) = (1,3,7) und f(0,1)
> = (-2,1,0) eine lineare Abbildung
>
> a) finden Sie den ausdruck für [mm]f(x_1,x_2),[/mm] wenn [mm]x_1,x_2 \in \IR[/mm]
>
> b)Zeigen Sie anhand der Definition, dass V ein
> Untervektorraum von [mm]\IR^{2}[/mm] ist,
> wobei [mm]V= \{x:x \in \IR^{2}, f(x)=(0,0,0)\}[/mm]
> Hallo leute!
>
> Könnte mir hier bitte jemand erklären wie ich das angehe,
> ich verstehe nicht mal die angabe ganz...
Welche Eigenschaften eine lineare Abb. hat , ist Dir hoffentlich bekannt.
Für [mm] $(x_1,x_2) \IR^2$ [/mm] ist doch
$ [mm] (x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(0,1)$
[/mm]
also
$ f( [mm] (x_1,x_2))=x_1f((1,0))+x_2f((0,1))$
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe,
>
> lg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
> Welche Eigenschaften eine lineare Abb. hat , ist Dir
> hoffentlich bekannt.
>
> Für [mm](x_1,x_2) \IR^2[/mm] ist doch
>
> [mm](x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(0,1)[/mm]
>
> also
>
> [mm]f( (x_1,x_2))=x_1f((1,0))+x_2f((0,1))[/mm]
>
sollte hier in der klammer nicht [mm] f(x_1+x_2) [/mm] stehen anstatt des komma?
ja muss ich das dann einfach mit den beiden 3-dimensionalen spaltenvektoren durchführen oder?
|
|
|
| |
|
>
> > Welche Eigenschaften eine lineare Abb. hat , ist Dir
> > hoffentlich bekannt.
> >
> > Für [mm](x_1,x_2) \IR^2[/mm] ist doch
> >
> > [mm](x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(0,1)[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]f( (x_1,x_2))=x_1f((1,0))+x_2f((0,1))[/mm]
> >
>
> sollte hier in der klammer nicht [mm]f(x_1+x_2)[/mm] stehen anstatt
> des komma?
Hallo,
nein.
Du sollst doch den Funktionswert von [mm] (x_1, x_2) \in \IR^2 [/mm] sagen.
[mm] x_1+x_2 [/mm] wäre ja eine reelle Zahl, auf welche man f überhaupt nicht anwenden könnte.
(Schreibt Ihr die Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] wirklich als Zeilen?)
>
> ja muss ich das dann einfach mit den beiden 3-dimensionalen
> spaltenvektoren durchführen oder?
Einfach ist es, und wenn Du einfach mal vormachst, was Du mit dem, was Du schreibst, meinst, dann können wir gucken, ob's richtig ist.
Ich weiß doch nicht, was Du durchführen willst...
Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
naja das problem is halt, dass ich mit der angabe so gut wie garnix anfangen kann und einfach nicht weiß was ich da machen soll... bin gerade sehr verzweifelt...
lg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> naja das problem is halt, dass ich mit der angabe so gut
> wie garnix anfangen kann und einfach nicht weiß was ich da
> machen soll... bin gerade sehr verzweifelt...
Aus
f(1,0) = (1,3,7) und f(0,1) = (-2,1,0)
und
$ f( [mm] (x_1,x_2))=x_1f((1,0))+x_2f((0,1)) [/mm] $
folgt:
$ f( [mm] (x_1,x_2))=x_1(1,3,7)+x_2(-2,1,0)= (x_1-2x_2,3x_1+x_2,7x_1)$
[/mm]
Damit hab ich Dir a) vorgemacht.
FRED
>
> lg markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke vielmals, hab es jetzt verstanden ;)
und bei b) muss ich dann einfach mit den beiden vektoren f(1,0) und f(0,1) die untterraum-kriterien
[mm] f(\vec{x_1}+\vec{x_2})= f(\vec{x_1})+f(\vec{x_2}) [/mm] und [mm] f(\lambda \vec{x_1}) [/mm] = [mm] \lambda*f(\vec{x_1}) [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok danke vielmals, hab es jetzt verstanden ;)
>
> und bei b) muss ich dann einfach mit den beiden vektoren
> f(1,0) und f(0,1) die untterraum-kriterien
>
> [mm]f(\vec{x_1}+\vec{x_2})= f(\vec{x_1})+f(\vec{x_2})[/mm] und
> [mm]f(\lambda \vec{x_1})[/mm] = [mm]\lambda*f(\vec{x_1})[/mm] oder?
Was oder ? Lies mal was Du geschrieben hast. Ist das zu verstehen ?
Du mußt zeigen, dass V ein Untervektoraum ist.
Wie lautet das Untervektorraumkriterium ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
also ich werd jetzt immer verwirrter je mehr ich mich damit beschäftige...
also V soll ein Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] sein, wobei gilt
V={x : x [mm] \in \IR^2, [/mm] f(x)=(0,0,0)}
die Kriterien lauten lt. skriptum
[mm] \vec{u},\vec{v} \in [/mm] V -> [mm] \vec{u}+\vec{v} \in [/mm] V und
[mm] \vec{u} \in [/mm] V, [mm] \lambda \in \IR [/mm] -> [mm] \lambda\vec{u} \in [/mm] V
nur was fange ich jetzt damit an? bin schon komplett wirr im kopf schön langsam...
dank und lg mark
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> also ich werd jetzt immer verwirrter je mehr ich mich damit
> beschäftige...
>
> also V soll ein Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein, wobei gilt
>
> V={x : x [mm]\in \IR^2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x)=(0,0,0)}
>
> die Kriterien lauten lt. skriptum
>
> [mm]\vec{u},\vec{v} \in[/mm] V -> [mm]\vec{u}+\vec{v} \in[/mm] V und
> [mm]\vec{u} \in[/mm] V, [mm]\lambda \in \IR[/mm] -> [mm]\lambda\vec{u} \in[/mm] V
>
> nur was fange ich jetzt damit an?
Gibst das ?
Seien [mm]\vec{u},\vec{v} \in[/mm] V , also [mm] f(\vec{u})= f(\vec{v})=(0,0,0)
[/mm]
Dann ist
$ f( [mm] \vec{u}+\vec{v})= f(\vec{u})+ f(\vec{v})=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)$
[/mm]
Damit ist [mm] \vec{u}+\vec{v} \in [/mm] V.
Den Rest machst jetzt Du .
FRED
> bin schon komplett wirr
> im kopf schön langsam...
>
> dank und lg mark
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke dir, mein problem ist, dass ich immer viel zu kompliziert denke, sobald die angaben in "mathematischer" sprache dargestellt sind...
ok das erste kriterium hast du ja schon bewiesen,
nun zum zweiten:
es gilt ja im allgemeinen: [mm] \lambda*\vex{u}=\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 }
[/mm]
wenn ich jetzt den vektor (zum ausführlichen beweis) als gleichung aufschreibe steht da
[mm] u_1+u_2+u_3=0 /*\lambda
[/mm]
[mm] \lambda*u_1+\lambda*u_2+\lambda*u_3=0
[/mm]
das wieder als spaltenvektor aufgeschrieben ist [mm] \vektor{ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_3 } [/mm] = [mm] \vektor [/mm] { [mm] \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 [/mm] }
und das ist genau wieder die bedingung, die wir zeigen wollen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok danke dir, mein problem ist, dass ich immer viel zu
> kompliziert denke, sobald die angaben in "mathematischer"
> sprache dargestellt sind...
>
> ok das erste kriterium hast du ja schon bewiesen,
>
> nun zum zweiten:
>
> es gilt ja im allgemeinen:
> [mm]\lambda*\vex{u}=\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 }[/mm]
>
> wenn ich jetzt den vektor (zum ausführlichen beweis) als
> gleichung aufschreibe steht da
>
> [mm]u_1+u_2+u_3=0 /*\lambda[/mm]
>
> [mm]\lambda*u_1+\lambda*u_2+\lambda*u_3=0[/mm]
>
> das wieder als spaltenvektor aufgeschrieben ist [mm]\vektor{ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_3 }[/mm]
> = [mm]\vektor[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> und das ist genau wieder die bedingung, die wir zeigen
> wollen!
Nein, das ist großer Blödsinn !
Zu zeigen:
$ \vec{u} \in $ V, $ \lambda \in \IR $ -> $ \lambda\vec{u} \in $ V
Sei also $ \vec{u} \in $ V und $ \lambda \in \IR $.
Dann ist
$f( \lambda\vec{u} ) = \lambda*f(\vec{u})= \lambda*(0,0,0)= (0,0,0)$
also
$ \lambda\vec{u} \in $ V
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ich danke dir sehr für deine hilfe, jedoch habe ich hier noch eine frage:
wo ist denn der unterschied zu dem, was ich gemacht habe?
danke vielmals!!!
lg mark
|
|
|
| |
|
Hallo Markus,
> ich danke dir sehr für deine hilfe, jedoch habe ich hier
> noch eine frage:
>
> wo ist denn der unterschied zu dem, was ich gemacht habe?
Du ahst nix gezeigt!
Der Anfang war ja gut, aber wieso schreibst du nicht direkt nach [mm] $...=\vektor{\lambda\cdot{}0\\\lambda\cdot{}0\\\lambda\cdot{}0}=\vektor{0\\0\\0}\in [/mm] U$
Und fertig!
Du modelst da irgendwie weiter rum, ohne zu Potte zu kommen.
Ziel war doch, zu zeigen, dass der Vektor [mm] $(\lambda\cdot{}\vec{u})$ [/mm] wieder in $U$ liegt, also [mm] $=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ist ...
> danke vielmals!!!
>
> lg mark
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke dir, mein problem ist, dass ich immer viel zu kompliziert denke, sobald die angaben in "mathematischer" sprache dargestellt sind...
ok das erste kriterium hast du ja schon bewiesen,
nun zum zweiten:
es gilt ja im allgemeinen: [mm] \lambda*\vec{u}=\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 }
[/mm]
wenn ich jetzt den vektor (zum ausführlichen beweis) als gleichung aufschreibe steht da
[mm] u_1+u_2+u_3=0 /*\lambda
[/mm]
[mm] \lambda*u_1+\lambda*u_2+\lambda*u_3=0
[/mm]
das wieder als spaltenvektor aufgeschrieben ist [mm] \vektor{ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_3 } [/mm] = [mm] \vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 } [/mm]
und das ist genau wieder die bedingung, die wir zeigen wollen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok danke dir, mein problem ist, dass ich immer viel zu
> kompliziert denke, sobald die angaben in "mathematischer"
> sprache dargestellt sind...
>
> ok das erste kriterium hast du ja schon bewiesen,
>
> nun zum zweiten:
>
> es gilt ja im allgemeinen:
> [mm]\lambda*\vec{u}=\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 }[/mm]
>
> wenn ich jetzt den vektor (zum ausführlichen beweis) als
> gleichung aufschreibe steht da
>
> [mm]u_1+u_2+u_3=0 /*\lambda[/mm]
>
> [mm]\lambda*u_1+\lambda*u_2+\lambda*u_3=0[/mm]
>
> das wieder als spaltenvektor aufgeschrieben ist [mm]\vektor{ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_2 \\ \lambda*u_3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{ \lambda*0 \\ \lambda*0 \\ \lambda*0 }[/mm]
>
> und das ist genau wieder die bedingung, die wir zeigen
> wollen!
Auch wen Du es nochmal schreibst, wirds nicht besser.
FRED
>
>
|
|
|
|
