lineare Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen oder wiederlegen sie, dass folgende Teilmengen des [mm] \IR^3 [/mm] lineare Unterräume sind!
i) [mm] U_1= \pmat{ x+y \\ x+2y \\ x} |x,y\in \IR
[/mm]
ii) [mm] U_2= \pmat{ 1+x+y \\ x+2y \\ x} |x,y\in \IR
[/mm]
iii) Ebenen durch den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
iv) Geraden durch den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
zuerst einmal müssen die drei Kriterien geprüft werden:
1. [mm] U\not= \emptyset
[/mm]
2. Vektoraddition: [mm] x,y\in [/mm] U= [mm] x+y\in [/mm] U
3. Skalarmultiplikation: [mm] x\in [/mm] U und [mm] a\in [/mm] K= [mm] a*x\in [/mm] U
ach ja, und bei der Skalarmultiplikation muss das neutrale Element 1 gelten.
Aber wie zeige ich das denn ?? muss ich z.B. bei i) (x+y)+ (x+2y)+x berechnen oder wie soll ich das machen?
Grüße,
mathegirl
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
ah, das ist schon eine neue Aufgabe. 
Ich denke, das Hauptproblem ist hier eine systemisch-analytische x,y-Verwirrung. Deine (ganz allgemein formulierten) Kriterien enthalten die Platzhalter x und y, und die Aufgabenstellung auch. Dennoch haben die buchstabengleichen Variablen nichts miteinander zu tun. In der Aufgabe stehen x und y für Zahlen (z.B. [mm] \in\IR [/mm] ), in den Kriterien aber für Vektoren.
Wenn wir mal die Bezeichnung in den Kriterien so belassen, nur zum Anhübschen noch eine vektorielle Markierung nehmen, dann heißen die so:
> die drei Kriterien:
> 1. [mm]U\not= \emptyset[/mm]
> 2. Vektoraddition: [mm] \blue{\vec{x},\vec{y}\in{U} \Rightarrow \vec{x}+\vec{y}\in{U}}
[/mm]
> 3. Skalarmultiplikation: [mm] \blue{\vec{x}\in{U} \wedge a\in{K} \Rightarrow a*\vec{x}\in{U}}
[/mm]
Äh, was ist doch gleich K?
> ach ja, und bei der Skalarmultiplikation muss das neutrale
> Element 1 gelten.
Gut, nehmen wir das als Bedingung 3b.
> Aber wie zeige ich das denn ?? muss ich z.B. bei i) (x+y)+
> (x+2y)+x berechnen oder wie soll ich das machen?
Momentchen. Jetzt benennen wir die Variablen in den Aufgabenstellungen mal um. "x" nennen wir "s" und "y" heißt hier ab jetzt "t". Die Bezeichnungen [mm] \vec{x}, \vec{y} [/mm] in den Kriterien bleiben aber, denn sie bedeuten ja auch etwas anderes.
| Aufgabe |
Zeigen oder wiederlegen sie, dass folgende Teilmengen des
[mm] \IR^3 [/mm] lineare Unterräume sind!
i) [mm] U_1= \pmat{ s+t \\ s+2t \\ s} |s,t\in \IR
[/mm]
ii) [mm] U_2= \pmat{ 1+s+t \\ s+2t \\ s} |s,t\in \IR
[/mm]
iii) Ebenen durch den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
iv) Geraden durch den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
|
So, es ist bis hier absolut noch nichts Mathematisches passiert. Du hast nur gerade auf Dein Marmeladenglas "Erdbeer 2009" ein neues Schild geklebt, z.B. "Finger weg!", oder "Lieblingsfrühstück", oder "Omas Beste". Im Glas ist noch das gleiche drin.
Nehmen wir mal Aufgabe 1. In diesem Unterraum finden sich Vektoren der angegebenen Bauform. Nimm mal zwei davon, z.B. so:
[mm] \vec{x}=\vektor{s_1+t_1 \\ s_1+2t_1 \\ s_1} [/mm] und [mm] \vec{y}=\vektor{s_2+t_2 \\ s_2+2t_2 \\ s_2}
[/mm]
Wie steht es denn dann z.B. mit dem zweiten Kriterium? Hat auch [mm] \vec{x}+\vec{y} [/mm] die verlangte Form, gibt es also ein Paar [mm] s_3,t_3 [/mm] mit dem der Summenvektor zu bilden ist?
Probiers mal...
Bis später (oder eher doch bis morgen)
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:12 Do 29.10.2009 | | Autor: | Herby |
Moin Reverend,
> Hallo Mathegirl,
>
> ah, das ist schon eine neue Aufgabe.
>
> Ich denke, das Hauptproblem ist hier eine
> systemisch-analytische x,y-Verwirrung. Deine (ganz
> allgemein formulierten) Kriterien enthalten die Platzhalter
> x und y, und die Aufgabenstellung auch. Dennoch haben die
> buchstabengleichen Variablen nichts miteinander zu tun. In
> der Aufgabe stehen x und y für Zahlen (z.B. [mm]\in\IR[/mm] ), in
> den Kriterien aber für Vektoren.
>
> Wenn wir mal die Bezeichnung in den Kriterien so belassen,
> nur zum Anhübschen noch eine vektorielle Markierung
> nehmen, dann heißen die so:
>
> > die drei Kriterien:
> > 1. [mm]U\not= \emptyset[/mm]
> > 2. Vektoraddition:
> [mm]\blue{\vec{x},\vec{y}\in{U} \Rightarrow \vec{x}+\vec{y}\in{U}}[/mm]
>
> > 3. Skalarmultiplikation: [mm]\blue{\vec{x}\in{U} \wedge a\in{K} \Rightarrow a*\vec{x}\in{U}}[/mm]
>
> Äh, was ist doch gleich K?
K ist ein Körper
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
Könnt ihr mir das an dem ersten Beispiel vielleicht mal erklären/deutlich machen? Vielleicht kriege ich den Rest dann alleine hin. Oder ihr erklärt es mir an einem ähnlichen Beipiel.
Das wäre echt hilfreich für mich!
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Hallo Smarty!
Vielen dank! ja ich habs verstanden ;) ich bin da ganz falsch dran gegangen *wie dämlich man manchmal ist* bei mir war [mm] s_1+s_s [/mm] nicht [mm] s_3 [/mm] sondern [mm] "s_1+s_2" [/mm] geblieben als Lösung der Addition....
Und SO konnte ich das ja nicht hinkriegen :))
Also danke nochmal und den Rest kriege ich jetzt sicher auch gut hin!
Mathegirl
|
|
|
|
)
