lineare Unabhängigkeit Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Fr 23.11.2007 | | Autor: | timako |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{P}_{n} [/mm] := [mm] \{p_{n}(x) | p_{n}(x) = \summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ,a_{k} \in \IR, n \in \IN_{0}, x \in \IR \} [/mm] die Menge aller reelwertigen Polynome vom Grade n.
Weiterhin gilt: [mm] \mathcal{P}_{n} [/mm] = span{1, x, [mm] x^{2},...,x^{n}\}.
[/mm]
Man zeige, dass die Menge {1, x, [mm] x^{2},...,x^{n}\} [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo zusammen,
ich muß also zeigen, dass gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n}\lambda_{k}x^{k} [/mm] = 0 [mm] \gdw \lambda_{k}=0 \forall [/mm] 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Das ist mir intuitiv klar, aber wie zeige ich dass ohne Zuhilfenahme linearer GLS, sondern lediglich mit den Begriffen der Vektorrechnung und Vektorräume?
Ist das "gezeigt" mit Hilfe der Darstellung als Koordinatenvektor?
[mm] \vektor{\lambda_{0} \\ \lambda_{1} \\ ... \\ \lambda_{n}} [/mm] * [mm] \vektor{x^{0} \\ x^{1} \\ ... \\ x^{n}} [/mm] = 0 [mm] \gdw \lambda_{0} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0, da [mm] x^{k} \in \IR \forall [/mm] 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Vielen Dank im Voraus... und "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
mfG
Timm
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> Sei [mm]\mathcal{P}_{n}[/mm] := [mm]\{p_{n}(x) | p_{n}(x) = \summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ,a_{k} \in \IR, n \in \IN_{0}, x \in \IR \}[/mm]
> die Menge aller reelwertigen Polynome vom Grade n.
> Weiterhin gilt: [mm]\mathcal{P}_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= span{1, x,
> [mm]x^{2},...,x^{n}\}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Man zeige, dass die Menge {1, x, [mm]x^{2},...,x^{n}\}[/mm] linear
> unabhängig ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich muß also zeigen, dass gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\lambda_{k}x^{k}[/mm] = 0 [mm]\gdw \lambda_{k}=0 \forall[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
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> Das ist mir intuitiv klar, aber wie zeige ich dass ohne
> Zuhilfenahme linearer GLS, sondern lediglich mit den
> Begriffen der Vektorrechnung und Vektorräume?
Hallo,
lineare GSe sind doch erlaubt, ja, sie sind doch ein wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra.
Wenn Du also eine Lösung hast, bei welcher Du ein LGS löst, ist das völlig in Ordnung - ich meine fast, es ist notwendig, es so zu machen.
Gruß v. Angela
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