lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und F e End(V ). Weiterhin seien v e V und n e N derart, dass [mm] F^{n}(v) [/mm] = 0, aber [mm] F^{n-1}(v) \not= [/mm] 0. Zeige, dass {v, F(v), [mm] F^{2}(v), [/mm] . . . , [mm] F^{n-1}(v)} [/mm] linear unabhängig ist.
Hinweis: [mm] F^{n} [/mm] = F [mm] \circ [/mm] F ... [mm] \circ [/mm] F ( n−mal F) und [mm] F^{0} [/mm] = [mm] id_{v}. [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand einen Tipp geben, wie man an diese Aufgabe rangehen soll?
Ich hab leider überhaupt keinen Ansatz gefunden.
MFG
Nathenatiker
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Also du musst zeigen, für [mm] \lambda_i\in{}K,i=0,..,n-1, [/mm] mit
[mm] \lambda_ 0F^0(v)+...+\lambda_{n-1}F^{n-1}(v)=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_0=...=\lambda_{n-1}=0.
[/mm]
Jetzt ein paar Tips:
[mm] F^n(v)=0 \Rightarrow F^{n+j}(v)=0, \forall j\in\IN
[/mm]
F linear, also F(0)=0
F linear, dann ist auch [mm] F^k [/mm] linear, [mm] \forall k\in\IN.
[/mm]
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