lineare Rekursionen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 10.02.2013 | | Autor: | Tom1988 |
| Aufgabe | Löse folgende lineare Rekursionen explizit nach am auf.
a(m+1) = 2(am )+ a(m-1) (Klammern stehen für Zeichen im Index) |
Hallo,
Vorlesung verpasst und schon erlischt das Licht am Ende des Tunnels.
So wie ich diese Aufgabe verstanden habe soll ich a(m) auf eine Seite bringen.
Mein Vorgehen wäre also:
a(m+1)/2 - a(m+1)/2 = a(m)
Kann mir vllt jemand backup geben? Vielen Dank :)
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Hallo,
> Löse folgende lineare Rekursionen explizit nach am auf.
> a(m+1) = 2(am )+ a(m-1) (Klammern stehen für
> Zeichen im Index)
Ich gehe mal davon aus, dass die Rekursionsgleichung lautet:
[mm] $a_{m+1} [/mm] = [mm] 2*a_{m} [/mm] + [mm] a_{m-1}$.
[/mm]
> So wie ich diese Aufgabe verstanden habe soll ich a(m) auf
> eine Seite bringen.
>
> Mein Vorgehen wäre also:
>
> a(m+1)/2 - a(m+1)/2 = a(m)
Nein, das ist nicht die Lösung.
Du sollst ja [mm] $a_m$ [/mm] nicht "nur" auf eine Seite bringen, du sollst EXPLIZIT nach [mm] $a_m$ [/mm] auflösen. Das heißt, es muss etwas dastehen der Form
[mm] $a_m [/mm] = $... Nur noch Terme mit $m$, aber nicht mit [mm] $a_{m}, a_{m-1}, [/mm] ...$
Eine lineare Rekursionsgleichung kann man meist ganz gut mit einem Ansatz der Form
[mm] $a_m [/mm] = [mm] b_1 \cdot e^{\lambda_1 m} [/mm] + [mm] b_2 \cdot e^{\lambda_2 m}$
[/mm]
lösen. Setz das doch mal in die Rekursionsgleichung ein und gucke, ob du Bedingungen für [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] extrahieren kannst.
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Es gäbe auch noch eine Alternative, nämlich die Rekursionsgleichung als Matrixgleichung umzuschreiben:
[mm] $\begin{pmatrix}a_{m+1}\\ a_m\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_{m}\\ a_{m-1}\end{pmatrix}$.
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $\begin{pmatrix}a_{m+1}\\ a_m\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{m-1} \cdot \begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{0}\end{pmatrix}$.
[/mm]
Und das Problem reduziert sich darauf die Potenzen der Matrix zu bestimmen (Diagonalisierung!)
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 So 10.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Tom,
wenn Du Stefans Tipps folgst, wirst Du eine Vermutung finden, wie das explizite Bildungsgesetz aussieht. Dazu hilft Dir vielleicht auch die "Namenskombination" Moivre-Binet.
Zur Überprüfung hilft auch folgendes:
Es wird eine Folge [mm] b_m [/mm] geben, so dass
[mm] a_{m+1}=b_{m}*a_1+b_{m-1}*a_0 [/mm] ist.
Und es wird gelten:
[mm] \lim_{m\to\infty}\bruch{b_{m+1}}{b_m}=1+\wurzel{2}
[/mm]
(Hier lag noch so ein Zauberhut herum... es muss wohl Karneval sein  )
Grüße
reverend
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