lineare DGL 1. Grades < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y'=x+3y+1 |
Um die Frage zu lösen habe ich mit der folgenden Formeln gearbeitet:
y'= p(x)*y+q(x)
[mm] y=K*e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}}
[/mm]
Zuerst habe ich die homogene Gleichung berechnet:
p(x)=x+3y [mm] P(x)=\bruch{x^{2}}{2}+3x
[/mm]
[mm] y=K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x}
[/mm]
Dann habe ich die homogene Gleichung in die Grundgleichung eingesetzt um die inhomogene Gleichung zu berechnen:
[mm] (K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x})'=x+3(K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x})+1
[/mm]
[mm] K'(x)=e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x}
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x} dx}
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie integriert man das obige Integral am Besten?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss Aucuba
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Hallo Aucuba,
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung: y'=x+3y+1
> Um die Frage zu lösen habe ich mit der folgenden Formeln
> gearbeitet:
> y'= p(x)*y+q(x)
> [mm]y=K*e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}}[/mm]
> Zuerst habe ich die
> homogene Gleichung berechnet:
> p(x)=x+3y [mm]P(x)=\bruch{x^{2}}{2}+3x[/mm]
Hier ist doch [mm]p(x)=\red{3}[/mm]
> [mm]y=K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x}[/mm]
> Dann habe ich die homogene Gleichung in die Grundgleichung
> eingesetzt um die inhomogene Gleichung zu berechnen:
>
> [mm](K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x})'=x+3(K*e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x})+1[/mm]
> [mm]K'(x)=e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x}[/mm]
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{e^{\bruch{x^{2}}{2}+3x} dx}[/mm]
> Stimmt
> das soweit? Wie integriert man das obige Integral am
> Besten?
Das stimmt leider nicht.
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Gruss Aucuba
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
> > Zuerst habe ich die
> > homogene Gleichung berechnet:
> > p(x)=x+3y [mm]P(x)=\bruch{x^{2}}{2}+3x[/mm]
>
>
> Hier ist doch [mm]p(x)=\red{3}[/mm]
Danke für die Korrektur. Leider ist mir nicht klar, wieso p(x)=3 ist?
Gruss
Aucuba
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Hallo Aucuba,
> > > Zuerst habe ich die
> > > homogene Gleichung berechnet:
> > > p(x)=x+3y [mm]P(x)=\bruch{x^{2}}{2}+3x[/mm]
> >
> >
> > Hier ist doch [mm]p(x)=\red{3}[/mm]
>
> Danke für die Korrektur. Leider ist mir nicht klar, wieso
> p(x)=3 ist?
>
Nun, Du hast doch folgende Gleichung:
[mm]y'=p(x)*y+q(x)[/mm]
Verglichen mit der Gleichung
[mm]y'=x+3y+1=3y+x+1[/mm]
ist p(x)=3, q(x)=x+1
Gruss
MathePower
> Gruss
> Aucuba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Danke MathePower.
Ich hab die Rechnung nun mit p(x)=3 gerechnet.
Homogene Gleichung: [mm] y=K*e^{3x}
[/mm]
Nun die homogene in die ursprüngliche Gelichung eingesetzt:
[mm] (K(x)*e^{3x})'=3*(K(x)3e^{3x})+x+1
[/mm]
[mm] K'(x)*e^{3x}=x+1
[/mm]
[mm] K'(x)=x*e^{3x}+e^{3x}
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{x*e^{3x}+e^{3x} dx}
[/mm]
Zwischenschritt um das Integral [mm] \integral_{}^{}{x*e^{3x} dx} [/mm] zu berechnen:
g(x)=x g'(x)=1
[mm] f(x)=\bruch{e^{3x}}{3} f'(x)=e^{3x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x*e^{3x} dx} [/mm] = [mm] x*\bruch{e^{3x}}{3} -\integral_{}^{}{1*\bruch{e^{3x}}{3} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x*e^{3x} dx}=x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9}
[/mm]
[mm] K(x)=x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9} +\bruch{e^{3x}}{3}
[/mm]
[mm] Y(x)=(x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9} +\bruch{e^{3x}}{3})*e^{3x}
[/mm]
[mm] Y(x)=(\bruch{x}{3}+\bruch{2}{9})*e^{3x}
[/mm]
Ich hoffe meine Rechnung stimmt jetzt?
Gruss
Aucuba
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Hallo Aucuba,
> Danke MathePower.
> Ich hab die Rechnung nun mit p(x)=3 gerechnet.
> Homogene Gleichung: [mm]y=K*e^{3x}[/mm]
> Nun die homogene in die ursprüngliche Gelichung
> eingesetzt:
> [mm](K(x)*e^{3x})'=3*(K(x)3e^{3x})+x+1[/mm]
> [mm]K'(x)*e^{3x}=x+1[/mm]
> [mm]K'(x)=x*e^{3x}+e^{3x}[/mm]
Hier muss es doch heissen: [mm]K'(x)=x*e^{\blue{-}3x}+e^{\blue{-}3x}[/mm]
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{x*e^{3x}+e^{3x} dx}[/mm]
>
> Zwischenschritt um das Integral [mm]\integral_{}^{}{x*e^{3x} dx}[/mm]
> zu berechnen:
> g(x)=x g'(x)=1
> [mm]f(x)=\bruch{e^{3x}}{3} f'(x)=e^{3x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*e^{3x} dx}[/mm] = [mm]x*\bruch{e^{3x}}{3} -\integral_{}^{}{1*\bruch{e^{3x}}{3} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*e^{3x} dx}=x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9}[/mm]
>
> [mm]K(x)=x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9} +\bruch{e^{3x}}{3}[/mm]
>
> [mm]Y(x)=(x*\bruch{e^{3x}}{3} -\bruch{e^{3x}}{9} +\bruch{e^{3x}}{3})*e^{3x}[/mm]
>
> [mm]Y(x)=(\bruch{x}{3}+\bruch{2}{9})*e^{3x}[/mm]
>
> Ich hoffe meine Rechnung stimmt jetzt?
>
Leider nein.
> Gruss
> Aucuba
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Oh je, die '-' sind verloren gegangen. Danke MathePower für die Korrektur.
Also nochmals mit:
[mm]K'(x)=x*e^{\blue{-}3x}+e^{\blue{-}3x}[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{x*e^{-3x}+e^{-3x} dx}
[/mm]
[mm] K(x)=x*\bruch{-e^{-3x}}{3}-\bruch{e^{-3x}}{9}+\bruch{-e^{-3x}}{3}
[/mm]
[mm] K(x)=(\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9})*e^{-3x}
[/mm]
[mm] Y(x)=(\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9})*e^{-3x}*e^{3x}
[/mm]
[mm] Y(x)=\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9}
[/mm]
Ich hoffe, dass ich es jetzt geschafft habe die Rechnung ohne Fehler zu rechnen.
Vielen Dank für die Unterstützung!
Gruss
Aucuba
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Hallo Aucuba,
> Oh je, die '-' sind verloren gegangen. Danke MathePower
> für die Korrektur.
> Also nochmals mit:
> [mm]K'(x)=x*e^{\blue{-}3x}+e^{\blue{-}3x}[/mm]
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{x*e^{-3x}+e^{-3x} dx}[/mm]
>
> [mm]K(x)=x*\bruch{-e^{-3x}}{3}-\bruch{e^{-3x}}{9}+\bruch{-e^{-3x}}{3}[/mm]
> [mm]K(x)=(\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9})*e^{-3x}[/mm]
>
> [mm]Y(x)=(\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9})*e^{-3x}*e^{3x}[/mm]
> [mm]Y(x)=\bruch{-x}{3}-\bruch{4}{9}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass ich es jetzt geschafft habe die Rechnung
> ohne Fehler zu rechnen.
Ja, jetzt hast Du die Rechnung richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank für die Unterstützung!
> Gruss
> Aucuba
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
OUF :) Vielen Dank noch einmal! Jetzt ist mein Freitagabend gerettet! =)
Gruss
Aucuba
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