lineare DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 23.05.2007 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | [mm] \bruch{y}{y'}=xlny+2x, [/mm] y>0.
(führe man durch Substitution z(x)=lny(x) auf eine lineare DGL zurück) |
Hallo,
habe hier die Schwierigkeit bei der Substiution.
Zuerst habe ich mal nach y' umgestellt, d.h.
y' = [mm] \bruch{y}{xlny+2x}
[/mm]
nun sei z = ln y also z' = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] ist es bis dahin noch richtig?
Am Ende muß ich ja soetwas wie (allg.) y'=a(x)y+b(x) stehen bzw. für y steht dann z (und weiterhin gilt das a,b stetige Funktionen sein sollen).
Welchen Schritt muß ich als nächstes tun um meiner linearen DGL näher zu kommen?
Besten Gruß und vielen Dank schon mal für eure Bemühungen.
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Vicky,
Klammer auf der rechten Seite x aus, dann erhältst du folgende Gleichung:
[mm] $\bruch{1}{y}*(ln(y)+2)\ [/mm] dy=x\ dx$
edit: ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") x verrutscht, richtig ist:
[mm] $\bruch{1}{y}*(ln(y)+2)\ \red{dy}=\bruch{1}{x}\ [/mm] dx$
Nun mit der Substituiton $z=ln(y)$ arbeiten [mm] z'=\bruch{dz}{dy}=...\quad \Rightarrow\quad \red{dy}=...
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 25.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
das hilft mir leider nicht wirklich weiter, da ich nicht genau verstehe was du da gemacht hast. Vielleicht kannst du es ja nochmal ein bißchen genauer erklären.
Habe auch noch mal überlegt:
wenn z=ln y dann ist y = [mm] e^z [/mm] und somit auch [mm] y'=e^z [/mm] doch wenn ich nun substituiere erhalte ich ja eine solche Gleichung 1=xz+2x und das kann ja kaum mein Ziel sein. Andererseits ist [mm] z'=\bruch{1}{y} [/mm] und somit [mm] =\bruch{1}{e^z}.
[/mm]
Hilft mir das vielleicht weiter?
Würde mich über jeden Hinweis sehr freuen.
Vielen Dank schon mal im voraus.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast einen entscheidenden Fehler gemacht. du musst z(x)=ln(y(x)) nach der Kettenregel ableiten. also
z'=y'/y
wenn du deine Gl. gar nicht erst umformst hast du also auf der linken Seite 1/z' stehen, rechts x*z+2x, x ausklammern, dann z'= und Trennung der Variablen
Am Ende [mm] y=e^z
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 25.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten. Das war der entscheidende Hinweis - Kettenregel. Könnte mich darüber ärgern, dass ich nicht selber darauf gekommen bin. Danke danke danke.
Liebe Grüße
vicky
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 26.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
es tun sich mir da doch noch einige Fragen auf. Ist [mm] y=e^z [/mm] meine Lösung die ich letztendlich erhalte? Falls ja, muß ich dann nicht noch rücksubstituieren? In diesem Fall wäre das allerdings etwas komisch, da ja y = [mm] e^{ln y} [/mm] ist.
Außerdem soll ich laut Aufgabenstellung die Gleichung auf eine linerae Differentialgleichung zurückführen (y'=a(x)y+b(x)) und danach die Gleichung untersuchen, also nicht nach getrennten Variablen obwohl ja bei beiden Lösungen das selbe herauskommen sollte.
Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \bruch{1}{z'}=x*z+2*x \Rightarrow z'=\bruch{1}{xz+2x} [/mm] und nun muß ich ja die homogene und inhomogene Gleichung aufstellen. Da scheitere ich leider schon wieder. Kann mir da vielleicht nochmal jemand helfen.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 26.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke du oder der Aufgabensteller hat sich verguckt oser vertippt!
es ist auch sehr eigenartig ne Dgl zu geben, bei der y' im Nenner steht.
Ich denke die dgl muss [mm] \bruch{y}{y}=... [/mm] heissen.
Im anderen Fall gibts SICHER keine lieare Dgl!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Sa 26.05.2007 | | Autor: | vicky |
Danke für die Antwort leduart.
Ich denke nämlich genau das gleiche, denn in einer vorherigen Aufgabe ist auch ein Fehler aufgetreten. Da ich allerdings auf dem Gebiet der DGL noch nicht so bewandert bin, hätte es ja auch an einem Verständnisproblem meinerseits liegen können.
Da sieht man mal das Professoren auch nur Menschen sind
Also vielen Dank für die Hilfe und einen schönen Abend noch.
Beste Grüße
vicky
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