lineare Abhängigkeit bei Fkt. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder ein Problem. Diesmal betrifft es die lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit.
Mit Vektoren ist das noch nicht das Problem, jedoch habe ich nun die drei Fkt f(t)= [mm] e^{-1}, [/mm] g(t)= [mm] e^{3t} [/mm] und h(t)= [mm] e^{-2t} [/mm] gegeben und soll angeben, ob diese drei Funktionen linear abhängig über [mm] \IZ [/mm] bzw. über [mm] \IR [/mm] sind.
Normalerweise hätte ich jetzt aufgestellt [mm] r_1*f(t)+r_2*g(t)+ r_3*h(t) [/mm] =0 und das nach [mm] r_1,r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] aufgelöst. Das geht aber ja nun nicht so einfach...
Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und damit dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?
Desweiteren verstehe ich noch nicht so ganz, was die lin. Abhängigkeit über [mm] \IZ [/mm] bzw. über [mm] \IR [/mm] bedeutet... Bedeutet lin. abh. über [mm] \IZ, [/mm] dass es für [mm] r_1,r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] Werte aus den ganzen Zahlen gibt? Oder hat das damit nichts zu tun?
LG Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 16.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Pia,
> Hallo zusammen,
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> ich habe mal wieder ein Problem. Diesmal betrifft es die
> lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit.
> Mit Vektoren ist das noch nicht das Problem, jedoch habe
> ich nun die drei Fkt f(t)= [mm]e^{-1},[/mm] g(t)= [mm]e^{3t}[/mm] und h(t)=
> [mm]e^{-2t}[/mm] gegeben und soll angeben, ob diese drei Funktionen
> linear abhängig über [mm]\IZ[/mm] bzw. über [mm]\IR[/mm] sind.
> Normalerweise hätte ich jetzt aufgestellt
> [mm]r_1*f(t)+r_2*g(t)+ r_3*h(t)[/mm] =0 und das nach [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm]
> aufgelöst. Das geht aber ja nun nicht so einfach...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, so geht das, auch wenn es nicht so einfach aufzulösen ist.
> Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und damit
> dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum
> Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?
Nein. Es muss für alle t gelten. Die einzelnen Funktionen werden punktweise (also jede Funktion mit demselben t) addiert.
>
> Desweiteren verstehe ich noch nicht so ganz, was die lin.
> Abhängigkeit über [mm]\IZ[/mm] bzw. über [mm]\IR[/mm] bedeutet... Bedeutet
> lin. abh. über [mm]\IZ,[/mm] dass es für [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] Werte aus
> den ganzen Zahlen gibt?
Genau. Bei linear abhängig über [mm]\IZ[/mm], die [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] dürfen nur Werte aus [mm] $\IZ$ [/mm] sein
>Oder hat das damit nichts zu tun?
>
> LG Pia
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
> > Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und
> damit
> > dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum
> > Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?
> Nein. Es muss für alle t gelten. Die einzelnen Funktionen
> werden punktweise (also jede Funktion mit demselben t)
> addiert.
Das verstehe ich nicht so ganz...
Ich meinte ursprünglich, dass ich einmal eine Gleichung für t=0 aufstelle, also
[mm] r_1+r_2+r_3=0
[/mm]
Dann für t=1: [mm] r_1 [/mm] * [mm] e^{-1} [/mm] + [mm] r_2 *e^{3} [/mm] + [mm] r_3 [/mm] * e^-2
und das auch noch für t=2 und aus den 3 gleichungen dann ein gleichungssystem aufstelle und löse...
Die Idee ist also falsch?
Ich wüsste nicht, wie ich anders vorgehen könnte, um nach [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] auflösen zu können...
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> Das verstehe ich nicht so ganz...
> Ich meinte ursprünglich, dass ich einmal eine Gleichung
> für t=0 aufstelle, also
> [mm]r_1+r_2+r_3=0[/mm]
> Dann für t=1: [mm]r_1[/mm] * [mm]e^{-1}[/mm] + [mm]r_2 *e^{3}[/mm] + [mm]r_3[/mm] * e^-2
> und das auch noch für t=2 und aus den 3 gleichungen dann
> ein gleichungssystem aufstelle und löse...
> Die Idee ist also falsch?
Hallo,
nochmal der Gedanke:
Du sollst überprüfen, ob die drei Funktionen f,g,h linear unabhängig über [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IZ [/mm] sind.
Dazu mußt Du prüfen, ob aus r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion folgt, daß [mm] r_1=r_2=r_3=0.
[/mm]
Schauen wir die Gleichung r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion einmal genauer an.
Was haben wir hier? Die Gleichheit zweier Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Also folgt ausr_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion:
es ist (r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion)(t)=0 für alle t aus dem Definitionsbereich.
<==> r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 für alle t.
Hiermit sind wir bei Deiner Idee angekommen:
wenn Du jetzt drei Werte für t findest, für welche aus dem entstehenden Gleichungssystem folgt, daß [mm] r_1=r_2=r_3=0, [/mm] so hast Du die lineare Unabhängigkeit der Funktionen f,g,h nachgewiesen.
Wie aber weist man die Abhängigkeit dreier Funktionen nach?
Auchtung: es reicht hierfür nicht, daß Du drei Funktionswerte findest, für die das GS eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung hast.
Sondern: Du mußt zeigen, daß Du [mm] r_i [/mm] findest, von denen mindestens eins von 0 verschieden ist und für welche
r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 für alle t gilt.
Versuch nun mal, nachzuweisen, was Du nachweisen möchtest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Ich muss zugeben, ich hänge immer noch fest und komm einfach auf keinen grünen Zweig...
r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0... weder f(t), g(t) noch h(t) kann ja 0 werden...
verzweifelt wie ich bin, hab ich meinen Taschenrechner zu Hilfe genommen... laut diesem müsste r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 sein, wenn
[mm] r_1 [/mm] = [mm] -e^{-t}(r_2 e^{5t}+r_3), [/mm] und [mm] r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] können jeweils gewählt werden... Aber wie das so ist, ich hab keine Ahnung, wie ich darauf kommen kann... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Di 19.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Pia,
> Ich muss zugeben, ich hänge immer noch fest und komm
> einfach auf keinen grünen Zweig...
> r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0... weder f(t), g(t) noch h(t)
> kann ja 0 werden...
Ja, genau.
Das ist der Schlüssel zur Lösung der Gleichung.
Da sie weder Null noch negativ werden können,
müssen [mm]r_1[/mm] = [mm]r_2[/mm] = [mm]r_3[/mm] = 0 sein,
damit die Gleichung erfüllt ist.
> verzweifelt wie ich bin, hab ich meinen Taschenrechner zu
> Hilfe genommen... laut diesem müsste
> r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 sein, wenn
> [mm]r_1[/mm] = [mm]-e^{-t}(r_2 e^{5t}+r_3),[/mm] und [mm]r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] können
> jeweils gewählt werden... Aber wie das so ist, ich hab
> keine Ahnung, wie ich darauf kommen kann... :/
>
>
Taschenrechner können bei e-Funktionen arg trügen,
denn irgendwann ist die kleinste positive von Null verschiedene Zahl
beim Taschenrechner erreicht.
Und was macht er dann? Einfach mit Null weiterrechnen?
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 21.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke!
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