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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mo 04.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | a) Für welche c [mm] \in \IR [/mm] sind die drei Vektoren (c,1,0) , (1,c,1) und (0,1,c) linear abhängig im [mm] \IR^{3}?
[/mm]
b) Wie lautet die Antwort zu a), wenn man [mm] \IR [/mm] durch [mm] \IQ [/mm] ersetzt?
c) Es sei [mm] \IK [/mm] ein beliebiger Körper. Für welche c [mm] \in \IK [/mm] sind die Vektoren (1+c,1-c) und (1-c,1+c) linear abhängig? |
Huhu!
Folgende Antworten habe ich:
a) Lineare Abhängigkeit ist gegeben, wenn sich die Vektoren als Linearkombination schreiben lassen:
[mm] \vektor{c \\ 1 \\0}= p*\vektor{0 \\ 1 \\c}+ q*\vektor{1 \\ c\\1}
[/mm]
also muß folgendes LGS lösbar sein:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & c \\ 1 & c & 1 \\ c & 1 & 0 }= \pmat{ 1 & c & 1 \\ 0 &1 & c \\ c & 1 & 0 }=\pmat{ 1 & c & 1 \\ 0 &1 & c \\ c & 0 & -c }
[/mm]
Darin ergibst sich für p= -1 und q=c. Diese Werte in die erste Zeile einsetzen ergibt für c=0.
b) Die Antwort bleibt gleich.
c) [mm] \vektor{1+c \\ 1-c}= p*\vektor{1-c \\ 1+c}
[/mm]
Daraus ergibt 1+c=1-c. Im [mm] \IF_{2} [/mm] gilt dies für c=1 und c=0, ansonsten nur für c= 0.
Sind die Ergebnisse so okay? Es irritiert mich immer ein bißchen, wenn sich eigentlich kaum was ändert. (siehe a) und b))
Vielen Dank und Gruß
Iris
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 04.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen,
> also muß folgendes LGS lösbar sein:
>
leider hast du kein LGS hingeschrieben, sondern nur die linke Seite umgeformt, aber ich hoffe, du weißt, was du meinst^^
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & c \\ 1 & c & 1 \\ c & 1 & 0 }= \pmat{ 1 & c & 1 \\ 0 &1 & c \\ c & 1 & 0 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] >=\pmat{ 1 & c & 1 \\ 0 &1 & c \\ c & 0 & -c }[/mm]
[/mm]
wieso?
hier wären ein paar zwischebemerkungen hilfreich...
wenn ich von oben rechne:
letzte Zeile minus c-mal der ersten zeile bekomme ich:
[mm] $=\pmat{ 1 & c & 1 \\ 0 &1 & c \\ 0 & 1-c^2 & -c }$
[/mm]
müsste man also noch weiter umformen...
ahh ,moment - nun weiß ich , was du gemacht hast, aber man sollte es schon auf zeilenstufenform bringen, wenn du das HOMGENE geleichungssystem lösen willst, oder wie hast du jetzt auf p und q geschlossen ?!?!
> c) [mm]\vektor{1+c \\ 1-c}= p*\vektor{1-c \\ 1+c}[/mm]
>
> Daraus ergibt 1+c=1-c.
wieso?
da steht zeilenweise : 1+c=p*(1-c)
(und umgekehrt)
>Im [mm]\IF_{2}[/mm] gilt dies für c=1 und
> c=0, ansonsten nur für c= 0.
die antwort hört sich allerdings richtig an, nur ein bischen ausführlicher wäre nett..
(also für denjenigen korrekteur, der die punkte zu vergeben hat... *hust*)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:53 Di 05.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Also das soll schon ein LGS sein, bloß fehlt da der Strich vor der Lösung.
In Formeln steht in der letzten und vorletzten Zeile:
p*c=-c
1*q=c. In der ersten dann: 1*p+c*q=1, also [mm] -1+c^2=1.
[/mm]
>wieso?
>da steht zeilenweise : 1+c=p*(1-c)
>(und umgekehrt)
Genau. Und das kann ich umformen in p=(1+c)/(1-c) und p=(1-c)/(1+c)
daraus ergibt sich [mm] (1+c)^2=(1-c)^2, [/mm] also 1+c=1-c, damit die beiden Gleichungen erfüllt sind.
Was könnte man denn zum F2 noch weiter schreiben? Daß das gilt, weil 1+1=0 ist und 1-1=0 und deswegen die Gleichung auch für c=1 erfüllt ist?
Gruß
Iris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 07.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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