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| Aufgabe | 1.Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.
a. dimV [mm] \le [/mm] dimW
b. Es gibt eine injektive lineare Abbildung V [mm] \to [/mm] W.
2.Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung und sei U ein Untervektorraum von V. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
a. ker(f) [mm] \subseteq [/mm] U.
b. U = f^-1(f(U)). |
Hallo erstmal.bin das erste Mal hier und kenn mich noch nicht so aus...
also ich habe immer total die Probleme mit den Beweisen von Fällen, in denen injektive/surjektive Abbildungen vorkommen, und diese Sache mit dem Kern und dem Bild einer Abbildung hab ich irgendwie überhaupt nicht verstanden...
ich hoffe, mir kann jemand helfen.schonmal danke im Vorraus.
MfG
MS
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Hi,
> 1.Seien V und W endlich erzeugte K-Vektorräume. Zeigen Sie,
> dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.
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> a. dimV [mm]\le[/mm] dimW
> b. Es gibt eine injektive lineare Abbildung V [mm]\to[/mm] W.
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> 2.Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung und sei U ein
> Untervektorraum von V. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind.
>
> a. ker(f) [mm]\subseteq[/mm] U.
> b. U = f^-1(f(U)).
> Hallo erstmal.bin das erste Mal hier und kenn mich noch
> nicht so aus...
> also ich habe immer total die Probleme mit den Beweisen
> von Fällen, in denen injektive/surjektive Abbildungen
> vorkommen, und diese Sache mit dem Kern und dem Bild einer
> Abbildung hab ich irgendwie überhaupt nicht verstanden...
> ich hoffe, mir kann jemand helfen.schonmal danke im
> Vorraus.
ich konzentriere mich jezt mal auf die zweite aufgabe, die ist schwieriger. Die erste sollte eigentlich gehen, indem du konkrete basen waehlst und damit explizit lineare abbildungen konstruierst.
solche aufgaben sind am anfang nicht leicht. Man muss sich strikt an die voraussetzungen halten und diese entkodieren. ist halt eine uebungssache, aber deshalb sollst du das ja auch machen... 
also [mm] $f:V\to [/mm] W$ linear, [mm] $U\subset [/mm] V$ ein UVR. zz.
i) [mm] $\ker f\subset [/mm] U$
[mm] $\gdw$
[/mm]
ii) [mm] $U=f^{-1}(f(U))$
[/mm]
Aussage i) laesst sich leicht uebersetzen: [mm] $\forall v\in [/mm] V: [mm] f(v)=0\Rightarrow v\in [/mm] U$
Was heisst aber aussage ii)? Wie ist die menge [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] definiert? Das sind alle [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $f(v)\in [/mm] M$. also ist aussage ii) aequiv. zu
ii) [mm] $U=\{v\in V: f(v)\in f(U)\}=\{v\in V:\exists u\in U:f(v)=f(u)\}$
[/mm]
du siehst nun, dass die inklusion [mm] $U\subset f^{-1}(f(U))$ [/mm] trivial ist und grundsaetzlich gilt, du kannst dich also auf die interessante richtung [mm] $U\supset f^{-1}(f(U))$ [/mm] konzentrieren. diese ist aequivalent mit
ii) [mm] $v\in V:\exists u\in [/mm] U: f(v)=f(u) [mm] \Rightarrow v\in [/mm] U$
Bist du noch dabei? Nach dieser vorarbeit ist der rest nicht mehr sehr schwer...
Nimm die 'hin'-richtung i) => ii).
wir haben also ein u aus U und ein v aus V mit $f(u)=f(v)$ und muessen zeigen, dass dann automatisch v in U ist. wenn aber
$f(v)=f(u)$ dann folgt auch
$f(v-u)=0 [mm] \gdw v-u\in \ker [/mm] f$
Nach Voraussetzung (!) ist dann aber
$v-u [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw v\in [/mm] u+U$
u+U kann aber nur vektoren aus U enthalten, also ist [mm] $v\in [/mm] U$. diese richtung ist damit gezeigt.
Schaffst du die rueckrichtung jetzt alleine? ich wuerde es mit einem widerspruchsbeweis versuchen. Bin mir bewusst, dass dir das alles vermutlich ziemlich kompliziert vorkommt, aber ich fuerchte viel einfacher geht es nicht... 
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mo 03.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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