lineare Abbildung Matrixen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:56 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Sandra21 |
Hallo
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe behilflich sein.
Und zwar
i)
Sei m<n, a [mm] \in [/mm] M(mxn;K) und b [mm] \in [/mm] M(nxm;K).
Welche der Matrixen ab und ba können invertierbar sein?
ii)
Zu zeigen: Ein Zeilenrang einer Matrix c=(c_ij) [mm] \in [/mm] M(mxn;K) ist genau dann eins, wenn es nichtverschwindende Vektoren (a1,...am) [mm] \in K^m [/mm] und (b1,...,bn) [mm] \in K^n [/mm] gibt, so dass c_ij = a_ij für alle i und alle j gilt.
Wie muss ich das machen. Kann mir jemand ein Ansatz geben.
Danke euch
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Do 16.12.2004 | | Autor: | Olek |
Hi Sandra,
ich habe die gleiche Aufgabe bekommen und habe mir überleft, dass das Produkt ab bzw. ba auf jeden Fall eine nxn Matrix ist. Dann habe ich mir überlegt wie die Einträge in c aussehen. Ich weiß leider nicht ob man das vernünftig allgemein aufschreiben kann, und wegen Dessen habe ich es erstmal nur für eine 2x2 Matrix aufgeschrieben.
Dann habe ich mir die Definition angeschaut, wann eine Matrix invertierbar ist. Dies ist der Fall, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ich weiß leider nicht, ob diese Definition nur für 2x2 Matrizen gilt!?
Auf jeden Fall ergibt die Determinante, dass die det (ab) = Null ist, wenn in a ein Zeilenvektor, oder ein Spaltenvektor gleich Null ist, oder wenn die Determinante von b gleich Null ist.
Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich das allgemein zeigen kann, vielleicht weiß auch jemand eine Antwort auf meine Fragen!?
MfG, Olek
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