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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 25.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe die ich bekommen habe.
Die lautet:
Man gebe diejenige lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] in der Form [mm] \pih(x_{1}, x_{2})= (ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2} [/mm] , [mm] dx_1 [/mm] + [mm] dx_{2} [/mm] an, die eine Spiegelung an einer Geraden (x,y) ist.
Nun meine Frage, wie mach ich sowas überhaupt, leider habe ich nichts gefunden was mir bs jetzt weitergeholfen hat.
Ich habe nur so eine Idee, das man es vielleicht als LGS oder so aufschreiben muss. Oder muss ich halt nur die Werte x,y in die Gleichung einsetzen und ausrechnen?? Und wie sieht sowas aus, wenn ich anschließend noch eine Drehung ausführe??
Ich würde mich über ein paar Tipps freuen und wäre sehr dankbar.
Gruß IKE
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Gruß!
Nun, dafür gibt es einen Trick: es reicht, die lineare Abbildung auf der Standardbasis anzuschauen. Der Grund dafür ist einfach:
Nehmen wir mal an, wie haben die Abbildung [mm] $\phi: \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] gegeben und suchen jetzt Zahlen $a,b,c,d [mm] \in \IR$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $\phi(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (ax_1 [/mm] + [mm] bx_2, cx_1 [/mm] + [mm] dx_2)$.
[/mm]
Gesetzt den Fall es gibt solche Zahlen (und dass es die gibt sagt die allgemeine Theorie über lin. Abbildungen), dann reicht es, [mm] $\phi$ [/mm] auf der Standardbasis auszurechnen. Es ist nämlich:
[mm] $\phi(1,0) [/mm] = (a,c)$ bzw. [mm] $\phi(0,1) [/mm] = (b,d)$. (Einsetzen!)
Wenn Du also weißt, wo Deine Abbildung die Einheitsvektoren hinschickt, liefert Dir das genau die gesuchten Werte $a,b,c,d$!
Das kannst Du Dir jetzt geometrisch klarmachen: Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem und schaue Dir an, wo die Einheitsvektoren hingespiegelt werden.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 25.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann werde ich das nun hinbekommen.
Grüße IKE
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