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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
ich habe hier eine Aufgabe mit der ich überhaput nichts anfangen kann. Kann mir vielleicht einen Ansatz geben. Leider brauche ich es schon für Freitag,also wäre ich froh wenn mir jemand helfen könnte.
Es sei A: [mm] \IR^3 [/mm] ---> [mm] \IR^3 [/mm] die lineare Abbildung mit
[mm] [A]_B= [/mm] 1/2 [mm] \pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 }
[/mm]
bezüglich der Basis B={u1,u2,u3} mit u1=(1,1,1) u2(1,2,1) und u3(1,1,3).
Bestimmen Sie die Matrix von A bezüglich der kanonischen Basis von [mm] R^3.
[/mm]
Nadja
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Halli hallo!
> Es sei A: [mm]\IR^3[/mm] ---> [mm]\IR^3[/mm] die lineare Abbildung mit
>
>
> [mm][A]_B=[/mm] 1/2 [mm]\pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 }
[/mm]
>
>
> bezüglich der Basis B={u1,u2,u3} mit u1=(1,1,1) u2(1,2,1)
> und u3(1,1,3).
> Bestimmen Sie die Matrix von A bezüglich der kanonischen
> Basis von [mm][mm] R^3.
[/mm]
Also zunächst mußt du deine Vektoren [mm] u_{i} [/mm] mit Hilfe der neuen Basisvektoren darstellen. also:
[mm] u_{1}=1e_{1}+1e_{2}+1e_{3}
[/mm]
[mm] u_{2}=1e_{1}+2e_{2}+1e_{3}
[/mm]
[mm] u_{3}=1e_{1}+1e_{2}+3e_{3}
[/mm]
Diese Matrix, die nun erhälst, ist
[mm] S=[id_{\IR^{3}}]_{{\cal K}_{3}}^{B}=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 } [/mm] und heißt Transformationsmatrix.
Nun bestimmst du die Inverse Matrix [mm] S^{-1}=[id_{\IR^{3}}]_{B}^{{\cal K}_{3}}
[/mm]
Am Ende erhälst du deine gesuchte Abbildung bezüglich der neuen Basis aus:
[mm] [A]_{{\cal K}_{3}}=S*[A]_{B}^{B}*S^{-1}
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 16.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Und zwar sollte ich die Inverse Der der Matrix S bestimmen.
Ich bin so weit gekommen
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 } \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 } \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 }
[/mm]
Ist das richtig.
Leider komme ich mit dem Gaussverfahren hier nicht mehr weiter.
Kannst mir da jemand weiterhelfen.
$ [mm] [A]_{{\cal K}_{3}}=S\cdot{}[A]_{B}^{B}\cdot{}S^{-1} [/mm] $
Ist dies das gesuchte A?
`Nadja
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Hallo!
> Du hattest mir bei einer Aufgabe geholfen. Und zwar ging
> es
> in der Aufgabe die Matrix von A bzl. kanomischen Basis von
> [mm]R^3[/mm] zu bestimmen.
>
> Kann ich dich dazu etwas fragen?
Klar ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Und zwar sollte ich die Inverse Der der Matrix S
> bestimmen.
>
> Ich bin so weit gekommen
>
> [mm][mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 } \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
>
> [mm][mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 } \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 }
[/mm]
> Ist das richtig.
Jepp, genau!
Jetzt kannst du von der ersten noch die zweite abziehen,
und die dritte zeile durch 2 teilen, dann erhälst du
[mm][mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \vmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0\\ -\bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} }
[/mm]
dann noch die dritte von der ersten abziehen und du hast
[mm][mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \vmat{ \bruch{5}{2} & -1 & -\bruch{1}{2} \\ -1 & 1 & 0\\ -\bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} }
[/mm]
> [mm][A]_{{\cal K}_{3}}=S\cdot{}[A]_{B}^{B}\cdot{}S^{-1}[/mm]
>
> Ist dies das gesuchte A?
genau, mit [mm][A]_{B}[/mm] hast du ja die Abbildung bezüglich der
Basis B beschrieben, und das ist nichts anderes als
[mm][A]_{B}^{B};[/mm] und [mm]{\cal K}_{3}[/mm] ist eigentlich nur das Symbol
für die Standdardbasis im [mm]\IR^3
[/mm]
Liebe Grüße
Ulrike
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am Schluß deiner Erklärung:
...da ist doch [mm] [A]_{B}^{B}; [/mm] gleich der Standartbasis...
S und S^(-1) heben sich ja auf bzw wird dann nur die Matrix der Abb. mit der
Einheitsmatrix multipl. ... es kommt das gleiche bei raus....zumindest wenn manns nachrechnet??
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
